mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm**

: Η τύχη του θεματοδότη.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Σε κύκλο

είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC )

. Στο μικρό

τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο

. Φέρουμε : $AT \perp SC$ . α) Δείξτε ότι : BS+ST=CT

β) Αν

και ύψος

, υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου $SB\cdot ST$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 12, 2020 11:48 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm
Η τύχη του θεματοδότη.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο . Στο μικρό

τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο . Φέρουμε : $AT \perp SC$ . α) Δείξτε ότι :

β) Αν και ύψος , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου $SB\cdot ST$ .

: Η τύχη του θεματοδότη_a.png (31.16 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

α) Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

, τα ισοσκελή τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASE$ έχουν: $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και άρα είναι ισογώνια οπότε :

$\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\xi _{}}} \Leftrightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ .

Έτσι εύκολα έχουμε ότι $\vartriangle AEC = \vartriangle ASB \Rightarrow SB = EC \Rightarrow SB + ST = EC + TE = TC$ .

Μεταβλητό στην περίπτωση είναι το σημείο

.

Επειδή από την ομοιότητα των τριγώνων ABC

( σταθερό ) και ASE

(μεταβλητό) έχω:

: Η τύχη του θεματοδότη_b.png (35.86 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

$\boxed{\frac{{2ST}}{{BC}} = \frac{{AS}}{{AB}} \Rightarrow ST = \frac{{AS \cdot BC}}{{2AB}} \Rightarrow ST \cdot SB = \frac{{BC}}{{2AB}}AS \cdot SB = \frac{{BC}}{{2AB}}2rd = \frac{a}{b}rd}$ .

Όπου

η απόσταση του

από τη σταθερή

(ή του

από την

) που γίνεται

μέγιστη αν το

ταυτιστεί με το μέσο του τόξου στο οποίο κινείται.

Ειδικά αν $\boxed{r = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_a} = h = \frac{{15}}{2}}$ υπολογίζονται :

$\left\{ \begin{gathered} BC = a = 2\sqrt {h\left( {2r - h} \right)} = \sqrt {15} \hfill \\ b = \sqrt {2rh} = 2\sqrt {15} \hfill \\ ST \cdot SB = \frac{a}{b}rd = 2d \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αλλά η απόσταση του κέντρου από την

είναι: $\sqrt {{4^2} - {{\sqrt {15} }^2}} = 1 \Rightarrow d = 4 - 1 = 3$

και άρα $\boxed{SB \cdot S{T_{\max }} = 6}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 13, 2020 1:21 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm
Η τύχη του θεματοδότη.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο . Στο μικρό

τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο . Φέρουμε : $AT \perp SC$ . α) Δείξτε ότι :

β) Αν και ύψος , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου $SB\cdot ST$ .

α) Πρόκειται για το πρόβλημα της σπασμένης χορδής του Αρχμήδη.

: Η τύχη του KARKAR.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

β) Είναι $\displaystyle AB \cdot AC = 2r{h_a} \Leftrightarrow {b^2} = 60 \Leftrightarrow b = 2\sqrt {15}$ και εύκολα $\displaystyle a = \sqrt {15}.$ Θέτω SB=x.

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ABC, SBC

παίρνω διαδοχικά $\displaystyle \cos A = \frac{7}{8}$ και

$\displaystyle S{C^2} - \frac{7}{4}xSC + {x^2} - 15 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{SC > x}$ $\displaystyle SC = \frac{{7x + \sqrt {960 - 15{x^2}} }}{8}$

$\displaystyle SB \cdot ST = xST = x(CT - x) = x(SC - ST - x) \Leftrightarrow xST = \frac{{x(SC - x)}}{2}$

Άρα, $\boxed{SB \cdot ST = \frac{x}{{16}}\left( {\sqrt {960 - 15{x^2}} - x} \right)}$ που παρουσιάζει για $\boxed{x=2\sqrt 6}$ μέγιστο ίσο με

$\boxed{{(SB \cdot ST)_{\max }} = 6}$ (Εύκολα διαπιστώνουμε ότι σε αυτή τη θέση το

είναι μέσο του τόξου $\overset\frown {AB}$ ).

mathematica.gr

Η τύχη του θεματοδότη

Η τύχη του θεματοδότη

Re: Η τύχη του θεματοδότη

Re: Η τύχη του θεματοδότη