Του τόπου τα καμώματα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Του τόπου τα καμώματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 06, 2020 5:46 pm

Του τόπου τα καμώματα.png
Του τόπου τα καμώματα.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Σημείο M κινείται στην πλευρά BC ενός τριγώνου ABC. Η μεσοκάθετος του BM τέμνει την AB στο K και η

μεσοκάθετος του MC την AC στο L. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου N του τριγώνου KLM.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Του τόπου τα καμώματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 06, 2020 10:32 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 5:46 pm
Του τόπου τα καμώματα.png
Σημείο M κινείται στην πλευρά BC ενός τριγώνου ABC. Η μεσοκάθετος του BM τέμνει την AB στο K και η

μεσοκάθετος του MC την AC στο L. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου N του τριγώνου KLM.
222.PNG
222.PNG (45.51 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Ωραία!
Έστω O το περίκεντρο του ABC και Q\equiv CO\cap MK,P\equiv BO\cap ML,W\equiv AO\cap BC
Αρχικά είναι \angle BPM=180^{\circ}-\angle CBO-\left ( 180^{\circ} -\angle CML\right )=180^{\circ}-\left ( 90^{\circ}-\angle A \right )-180^{\circ}+\angle C=90^{\circ}-\angle B=...=\angle OAC=\dfrac{\angle BKM}{2} οπότε είναι KB=KM=KP και APLO εγγράψιμο ,όμοια AQKO εγγράψιμο.
Είναι \angle LMK=180^{\circ}-\angle B-\angle B=\angle A και KP=KM\Leftrightarrow \angle KPL=\angle A οπότε εύκολα APLOKQ εγγράψιμο. Αφού N ορθόκεντρο του KML θα είναι \angle LNK=180^{\circ}-\angle LMK=180^{\circ}-\angle A άρα και το N ανήκει στον παραπάνω κύκλο.
Θα δείξω τώρα ότι το N κινείται στην παράλληλη από το O στην BC.
Πράγματι αρκεί
\angle AON=\angle AWB\Leftrightarrow \angle ALN=\angle AWB \Leftrightarrow \angle ALK+\angle KLN=\angle AWB\Leftrightarrow
\Leftrightarrow 180^{\circ}-\angle A-\angle LKA+90^{\circ}-\angle LKM=\angle AWB\Leftrightarrow 270^{\circ}-\angle A-\left ( 180^{\circ}-\angle BKM \right )=
=\angle AWB\Leftrightarrow 90^{\circ}-\angle A+180^{\circ}-2\angle B=\angle C+90^{\circ}-\angle B\Leftrightarrow \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Του τόπου τα καμώματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 07, 2020 4:28 am

Γράφω το κύκλο που διέρχεται από τα σημεία K,L,M ο οποίος τέμνει ακόμα τη BC στο S και ας είναι O το ορθόκεντρο του \vartriangle SKL.

Είναι προφανές ότι \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {KMB} = \widehat {{B_{}}}και ομοίως \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}}. Δηλαδή : \vartriangle ABC \approx \vartriangle SLK.

Επειδή MN \bot KL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SO \bot KL θα είναι MN//SO.

Επί πλέον αν F το κέντρο του \left( {K,L,M} \right) και E το μέσο της μεταβλητής χορδής του KL

θα είναι: MN = //2FE\,\kappa \alpha \iota \,\,SO = //2FE και άρα το τετράπλευρο MSON είναι παραλληλόγραμμο .
Του τόπου τα καμώματα_1.png
Του τόπου τα καμώματα_1.png (39.63 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Επειδή τώρα η γωνία \widehat {{\xi _{}}}είναι παραπληρωματική της \widehat {{\theta _{}}} τα σημεία O,S,C,L ανήκουν σε ένα κύκλο ίσο με τον \left( {K,L,M} \right)

( έχουν κοινή τη χορδή SL και τις απέναντι γωνίες ίσες ) το ίδιο θα συμβεί και με του κύκλους : \left( {B,S,O,K} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\left( {A,K,O,L} \right)\,.

Επειδή σε ίσους κύκλους σε ίσες χορδές βαίνουν ίσες εγγεγραμμένες γωνίες θα είναι:

\widehat {OCS} = \widehat {OBS}. Και άρα τελικά το O θα είναι το σταθερό περίκεντρο του \vartriangle ABC

Συνεπώς το N ανήκει σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην BC. Με οριακά σημεία προσδιορίζουμε επακριβώς το ζητούμενο τόπο.

Του τόπου τα καμώματα_γενικό σχήμα.png
Του τόπου τα καμώματα_γενικό σχήμα.png (44.2 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης