Σχέση πλευρών

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σχέση πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 06, 2020 1:32 pm

Σχέση πλευρών...png
Σχέση πλευρών...png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
I, G είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα ενός τριγώνου ABC. Να βρεθεί μία σχέση

ανάμεσα στις πλευρές a, b, c, αν είναι γνωστό ότι τα σημεία B, I, G, C είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχέση πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Φεβ 07, 2020 12:35 pm

Καλησπέρα!

Ισχύει \angle BGC=\angle BIC=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}

Από ν. συνημιτόνων

a^2=BG^2+CG^2-2BG\cdot CGcos(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})\Leftrightarrow 9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}.

ΕίναI

(BGC)=\dfrac{(ABC)}{3}\Leftrightarrow BG\cdot CG\cdot sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=\dfrac{1}{3}bcsinA\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}m_{b}m_{c} 
cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{2}{3}bcsin\dfrac{A}{2}cos\dfrac{A}{2}


\Leftrightarrow m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}bcsin^2\dfrac{A}{2}\Leftrightarrow m_{b} 
m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{4}bc(1-cosA)

\Leftrightarrow m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{4}bc(1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc})\Leftrightarrow  
\Leftrightarrow 8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=3a^2+6bc-3b^2-3c^2

Αρα

9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{_{b}}m_{c}sin\dfrac{A}{2}\Leftrightarrow

9a^2=(2a^2+2c^2-b^2)+(2a^2+2b^2-c^2)+(3a^2+6bc-3b^2-3c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc

Τελικά a^2+b^2+c^2=3bc.

Έκανα κάποιες διορθώσεις γιατί είχα θεωρήσει εσφαλμένα ότι sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=-cos\dfrac{A}{2}, ενώ είναι στην πραγματικότητα
sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=cos\dfrac{A}{2}.
Ευχαριστώ τον κύριο Γιώργο Βισβίκη για την επισήμανση του λάθους.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχέση πλευρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Φεβ 07, 2020 8:05 pm

Ακόμα μία λύση:

Εστω I_{a} παράκεντρο .

Το πεντάγωνο BIGCI_{a} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο K.

Με βάση το θεώρημα του Leibniz για το κέντρο του κύκλου έχω:

3KG^2+\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2+KB^2+KC^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2-KI^2\Leftrightarrow

\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=AI\cdot AI_{a}

Όμως τα τρίγωνα AIB, AI_{a}C ομοια και άρα AI\cdot AI_{a}=bc

Τελικά \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc.

Για το θεώρημα του Leibniz μπορείτε να δείτε εδώ https://demonstrations.wolfram.com/AGeo ... OfLeibniz/


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σχέση πλευρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Φεβ 07, 2020 8:45 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 1:32 pm
Σχέση πλευρών...png
I, G είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα ενός τριγώνου ABC. Να βρεθεί μία σχέση

ανάμεσα στις πλευρές a, b, c, αν είναι γνωστό ότι τα σημεία B, I, G, C είναι ομοκυκλικά.
223.PNG
223.PNG (41.25 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Αλλιώς,

Αν K το κέντρο του κύκλου (B,C,I) τότε το K ως γνωστών θα είναι το μέσο του τόξου BC του κύκλου (A,B,C) που δεν περιέχει το  A.
Έστω ότι και το G (βαρύκεντρο) ανήκει στον κύκλο.Θεωρώ L σημείο στον κύκλο (B,C,I) ώστε \angle CBG=\angle ABL\Leftrightarrow \angle LBG=\angle IBG.
Άρα I το μέσο του τόξου GL του κύκλου (B,C,I) δηλαδή IG=IL
Αφού λοιπόν KI μεσοκάθετος του LG και A,I,K συνευθειακά θα είναι AG=AL και \Delta ALI=\Delta AIG θα είναι το σημείο Lemoine του ABC.
Αφού όμως είναι γνωστό ότι AL=\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}s_A όπου s_A η A- συμμετροδιάμεσος πρέπει \dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}s_A=\dfrac{2}{3}m_A\Leftrightarrow \dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\cdot \dfrac{2bc}{b^2+c^2}m_A=\dfrac{2}{3}m_A\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc


Γενικότερα αν το X (τυχαίο σημείο) ανήκει στον (B,I,C) τότε ανήκει και το ισογώνιο συζυγές του.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχέση πλευρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Φεβ 08, 2020 6:41 am

Καλημέρα!

Και αλλιώς:

Εστω I_{a} παράκεντρο και C ο κύκλος (BIGCI_{a}).

Εστω ότι η διάμεσος AM τέμνει τον κύκλο ξανά στο K.

Τα τρίγωνα AIB, AI_{a}C όμοια και άρα AI\cdot AI_{a}=bc.

Από θ. δύναμης σημείου έχω

MB\cdot MC=MG\cdot MK\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{m_{a}}{3}\cdot MK\Leftrightarrow MK=\dfrac{3a^2}{4m_{a}}

Από θεώρημα δύναμης σημείου έχω επίσης

AI\cdot AI_{a}=AG\cdot AK\Leftrightarrow bc=\dfrac{2}{3}m_{a}(m_{a}+MK)\Leftrightarrow bc=\dfrac{2}{3}m_{a}(m_{a}+\dfrac{3a^2}{4m_{a}})

\Leftrightarrow 3bc=2m_{a}^2+\dfrac{3}{2}a^2\Leftrightarrow 3bc=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{2}+\dfrac{3a^2}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc

Τελικά a^2+b^2+c^2=3bc


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχέση πλευρών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 09, 2020 6:22 pm

Ευχαριστώ τον Κώστα :clap2: για τις πολλές ευρηματικές λύσεις του και φυσικά τον Πρόδρομο :clap2: για τη
φαντεζί λύση του με τη συμμετροδιάμεσο. Ας δούμε άλλη μία με την ίδια τεχνική που χρησιμοποιήθηκε εδώ #3
Γράφω την τελική εξίσωση παραλείποντας τη διαδικασία που περιγράφεται στην παραπομπή.

Σχέση πλευρών.β.png
Σχέση πλευρών.β.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
\displaystyle |\Delta _{(K)}^G - \Delta _{(O)}^G| = 2OK \cdot GG' \Leftrightarrow \frac{1}{9}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 2R\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{bc}}{3} \Leftrightarrow \boxed{a^2+b^2+c^2=3bc}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης