achilleas έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 26, 2020 1:54 pm
Θεωρούμε τρίγωνο

και ευθεία η οποία διέρχεται από το ορθόκεντρο του και τέμνει τις πλευρές του

και

σε εσωτερικά σημεία

και

, αντίστοιχα, τέτοια ώστε

. Έστω

το σημείο τομής των εφαπτομένων στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

στα σημεία

και

. Να δειχθεί ότι τα σημεία

είναι ομοκυκλικά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Καταρχήν, είναι προφανές ότι ένα τέτοιο τρίγωνο πρέπει να είναι οξυγώνιο (ώστε τα

να είναι εσωτερικά των

).
WLOG, έστω
Είναι,

και

, οπότε τα τρίγωνα

είναι όμοια.
Άρα,
(1)
Επαναπροσδιορίζω το σημείο

ως το μέσο του μικρού

τόξου.
Τότε, αρκεί να δείξω ότι οι

εφάπτονται στον

.
Έστω,

. Από Ν. Ημιτόνων στα

προκύπτει :

.

.
Τα αριστερά μέλη των πιο πάνω είναι ίσα αφού

και

.
Οπότε,

, από την
(1).
Όμως, είναι

.
Άρα,
(2).
Επίσης, είναι

καθώς

.
Οπότε,

, άρα

.
Η (2) λοιπόν γράφεται

.
Έστω το αριστερό μέλος της πιο πάνω συνάρτηση

.
Οπότε, έχουμε

. Η

έχει παράγωγο

.
Θα δείξω ότι

ή ότι

.
΄
Όμως, είναι

άρα οι

ανήκουν στο

και αφού η

είναι αύξουσα στο διάστημα αυτό, έχουμε ότι

.
Άρα, η

είναι φθίνουσα, οπότε

.
Οπότε,

, άρα

, και αφού

, προκύπτει

, δηλαδή οι

εφάπτονται στον

.
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

- ACHIL2.png (35.51 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές