Ομοκυκλικά σημεία

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2725
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ομοκυκλικά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιαν 26, 2020 1:54 pm

Θεωρούμε τρίγωνο ABC και ευθεία η οποία διέρχεται από το ορθόκεντρο του και τέμνει τις πλευρές του AB και AC σε εσωτερικά σημεία X και Y, αντίστοιχα, τέτοια ώστε AX=AY. Έστω Z το σημείο τομής των εφαπτομένων στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AXY στα σημεία X και Y. Να δειχθεί ότι τα σημεία A, B, C, Z είναι ομοκυκλικά.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 26, 2020 3:28 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2020 1:54 pm
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και ευθεία η οποία διέρχεται από το ορθόκεντρο του και τέμνει τις πλευρές του AB και AC σε εσωτερικά σημεία X και Y, αντίστοιχα, τέτοια ώστε AX=AY. Έστω Z το σημείο τομής των εφαπτομένων στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AXY στα σημεία X και Y. Να δειχθεί ότι τα σημεία A, B, C, Z είναι ομοκυκλικά.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Καταρχήν, είναι προφανές ότι ένα τέτοιο τρίγωνο πρέπει να είναι οξυγώνιο (ώστε τα X,Y να είναι εσωτερικά των AB,AC).

WLOG, έστω \angle C>\angle B

Είναι, \angle XBH=90^\circ-\angle A=\angle YCH και \angle HXB=\pi-\angle AXY=\pi - \angle AYX=\angle HYC, οπότε τα τρίγωνα \vartriangle XHB, \vartriangle HYC είναι όμοια.

Άρα, \dfrac{XH}{HY}=\dfrac{XB}{YC} (1)

Επαναπροσδιορίζω το σημείο Z ως το μέσο του μικρού BC τόξου.

Τότε, αρκεί να δείξω ότι οι ZX,ZY εφάπτονται στον (A,X,Y).

Έστω, \angle XZB=\phi, \angle YZC=\omega. Από Ν. Ημιτόνων στα \vartriangle BXZ, \vartriangle YZC προκύπτει :

\bullet \dfrac{BZ}{\sin \angle BXZ}=\dfrac{BX}{\sin \angle XZB}.
\bullet \dfrac{ZC}{\sin \angle ZYC}=\dfrac{CY}{\sin \angle YZC}.

Τα αριστερά μέλη των πιο πάνω είναι ίσα αφού BZ=ZC και \angle BXZ=\angle ZYC.

Οπότε, \dfrac{BX}{\sin \angle XZB}=\dfrac{CY}{\sin \angle YZC} \Rightarrow \dfrac{\sin \phi}{\sin \omega}=\dfrac{BX}{CY}=\dfrac{XH}{HY}, από την (1).

Όμως, είναι \dfrac{XH}{HY}=\dfrac{XA}{AY} \dfrac{\sin \angle XAH}{\sin \angle HAY} = \dfrac{\sin (90^\circ-\angle B)}{\sin (90^\circ-\angle C)}.

Άρα, \dfrac{\sin \phi}{\sin \omega}= \dfrac{\sin (90^\circ-\angle B)}{\sin (90^\circ-\angle C)} (2).

Επίσης, είναι XZ=ZY καθώς \dfrac{ZX}{\sin \angle XBZ}=\dfrac{BZ}{\sin \angle BXZ}=\dfrac{ZC}{\sin \angle ZYC}=\dfrac{ZY}{\sin \angle ZCY} \Rightarrow ZX=ZY.

Οπότε, ZX=ZY,AX=AY \Rightarrow \angle XZA=\angle AZY \Rightarrow \angle C-\phi=\angle B -\omega, άρα \phi=\angle C+\omega-\angle B.

Η (2) λοιπόν γράφεται \dfrac{\sin(\angle C+\omega-\angle B)}{\sin \omega}=\dfrac{\sin (90^\circ-\angle B)}{\sin (90^\circ-\angle C)}.

Έστω το αριστερό μέλος της πιο πάνω συνάρτηση f.

Οπότε, έχουμε f(\omega)=f(90^\circ-\angle C). Η f έχει παράγωγο \dfrac{\cos(\omega+\angle C-\angle B)\sin \omega-\sin(\omega+\angle C-\angle B)\cos \omega}{\sin ^2 \omega}.

Θα δείξω ότι f'<0 ή ότι \cos(\omega+\angle C-\angle B)\sin \omega-\sin(\omega+\angle C-\angle B)\cos \omega < 0 \Rightarrow \tan(\omega+\angle C- \angle B)>\tan(\omega).
΄
Όμως, είναι 0<\omega<\omega+\angle C-\angle B<\angle AZC+\angle C-\angle B=\angle C<\pi/2 άρα οι \omega, \omega+\angle C-\angle B ανήκουν στο (0,\pi/2) και αφού η \tan είναι αύξουσα στο διάστημα αυτό, έχουμε ότι f'<0.

Άρα, η f είναι φθίνουσα, οπότε f(\omega)=f(90^\circ-\angle C) \Rightarrow \omega=90^\circ-\angle C.

Οπότε, \phi=\angle C+\omega-\angle B=90^\circ-\angle B, άρα \angle XZY=\angle BZC-\phi-\omega=180^\circ-2\angle A, και αφού ZX=ZY, προκύπτει \angle XZY=\angle XYZ=\angle A, δηλαδή οι ZX,ZY εφάπτονται στον (A,X,Y).

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ACHIL2.png
ACHIL2.png (35.51 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Ιαν 26, 2020 3:53 pm

Καλησπέρα!
Έστω H' το συμμετρικό του H ως προς την AB, που ως γνωστόν ανήκει στον περίκυκλο του ABC. Είναι \widehat{H'XA}=\widehat{AXY}=\widehat{AYX}, δηλαδή η H'X είναι εφαπτόμενη του \left ( A,X,Y \right ) στο X, άρα τα Z,X,H' είναι συνευθειακά. Τώρα είναι \widehat{H'ZA}=90^{\circ}-\widehat{ZXY}=90^{\circ}-\widehat{XAY}=\widehat{ACH'}, άρα το Z ανήκει στον περίκυκλο του ABC.
Ομοκυκλικά σημεία.PNG
Ομοκυκλικά σημεία.PNG (61.38 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2725
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Ιαν 29, 2020 7:58 pm

Καλησπέρα σας!

Το πρόβλημα αυτό αποτέλεσε το 1ο θέμα του 3ου γύρου της 70ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2019).

Οι λύσεις τους- επίσης στα πολωνικά- είναι διαθέσιμες εδώ.

Δείτε, επίσης, λύσεις στο AoPS εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης