Παράλληλες χορδές

#1

Έστω

παραλληλόγραμμο με τη γωνία $\widehat{B}$ να είναι αμβλεία και AD>AB

. Επιλέγουμε σημεία

και

στη διαγώνιο

τέτοια ώστε $A\widehat{B}K=A\widehat{D}L$ ( τα σημεία A, K, L, C

είναι όλα διαφορετικά, με το

ανάμεσα στο

και το

). Η ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου ABC

στα σημεία

και

, και η ευθεία

τέμνει τον $\omega$ στα σημεία

και

. Να δειχθεί ότι BF//AC

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2020 9:27 pm
Έστω παραλληλόγραμμο με τη γωνία $\widehat{B}$ να είναι αμβλεία και . Επιλέγουμε σημεία και στη διαγώνιο τέτοια ώστε $A\widehat{B}K=A\widehat{D}L$ ( τα σημεία είναι όλα διαφορετικά, με το ανάμεσα στο και το ). Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου στα σημεία και , και η ευθεία τέμνει τον $\omega$ στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλησπέρα Αχιλλέα.

Είναι, $\angle LCD=\angle ACD=\angle BAC=\angle BEC$ , και $\angle CLD=\angle LAD+\angle LDA=\angle BCA+\angle ABE=\angle BCA+\angle ACE=\angle BCE$ , οπότε τα $\vartriangle LCD, \vartriangle BEC$ έχουν $\angle LCD=\angle BEC, \, \angle CLD=\angle BCE$ , άρα είναι όμοια.

Οπότε, $\dfrac{CL}{CD}=\dfrac{CE}{BE} \Rightarrow \dfrac{CL}{CE}=\dfrac{BA}{BE}$ , και αφού $\angle LCE=\angle ACE=\angle ABE$ , τα $\vartriangle LEC, \vartriangle BAE$ είναι όμοια.

Οπότε, προκύπτει $\angle AEB=\angle LEC \Rightarrow \angle ACB=\angle FBC \Rightarrow BF \parallel AC$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

: ACHIL.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2020 9:27 pm
Έστω παραλληλόγραμμο με τη γωνία $\widehat{B}$ να είναι αμβλεία και . Επιλέγουμε σημεία και στη διαγώνιο τέτοια ώστε $A\widehat{B}K=A\widehat{D}L$ ( τα σημεία είναι όλα διαφορετικά, με το ανάμεσα στο και το ). Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου στα σημεία και , και η ευθεία τέμνει τον $\omega$ στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .

Φιλικά,

Αχιλλέας

: 211.PNG (27.92 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Ορίζω το

ως την τομή της παράλληλης από το

στην

με τον

.Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο και η

είναι της

μεσοκάθετος αφού CF=BF=AB

και

Αρκεί να δείξω ότι $\angle LDA=\angle ABK$ .
Όμως εύκολα $\Delta AFL=\Delta ALD\Rightarrow \angle LDA=\angle AFL=\angle ABE$

#4

Καλησπέρα σας και ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας.

Το παραπάνω πρόβλημα αποτέλεσε ένα από τα προβλήματα της 2ης Ολυμπιάδας των Μητροπόλεων καθώς και το πρόβλημα Μ2482 του Kvant. Στο άρθρο

"Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant", Ion Patrascu.

του Gazeta Matematica, σελ. 64-67, No. 2, (2019), ο συγγραφέας παρουσιάζει τρεις λύσεις.

Η τρίτη από αυτές χρησιμοποιεί ως λήμμα το θέμα που προτείναμε εδώ.

Το αντίστοιχο ποστ στην κοινότητα του AoPS είναι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παράλληλες χορδές

Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Μέλη σε σύνδεση