Παράλληλες χορδές

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2756
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Παράλληλες χορδές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιαν 24, 2020 9:27 pm

Έστω ABCD παραλληλόγραμμο με τη γωνία \widehat{B} να είναι αμβλεία και AD>AB. Επιλέγουμε σημεία K και L στη διαγώνιο AC τέτοια ώστε A\widehat{B}K=A\widehat{D}L ( τα σημεία A, K, L, C είναι όλα διαφορετικά, με το K ανάμεσα στο A και το L). Η ευθεία BK τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC στα σημεία B και E, και η ευθεία EL τέμνει τον \omega στα σημεία E και F. Να δειχθεί ότι BF//AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παράλληλες χορδές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Ιαν 24, 2020 10:08 pm

achilleas έγραψε:
Παρ Ιαν 24, 2020 9:27 pm
Έστω ABCD παραλληλόγραμμο με τη γωνία \widehat{B} να είναι αμβλεία και AD>AB. Επιλέγουμε σημεία K και L στη διαγώνιο AC τέτοια ώστε A\widehat{B}K=A\widehat{D}L ( τα σημεία A, K, L, C είναι όλα διαφορετικά, με το K ανάμεσα στο A και το L). Η ευθεία BK τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC στα σημεία B και E, και η ευθεία EL τέμνει τον \omega στα σημεία E και F. Να δειχθεί ότι BF//AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Καλησπέρα Αχιλλέα.

Είναι, \angle LCD=\angle ACD=\angle BAC=\angle BEC, και \angle CLD=\angle LAD+\angle LDA=\angle BCA+\angle ABE=\angle BCA+\angle ACE=\angle BCE, οπότε τα \vartriangle LCD, \vartriangle BEC έχουν \angle LCD=\angle BEC, \, \angle CLD=\angle BCE, άρα είναι όμοια.

Οπότε, \dfrac{CL}{CD}=\dfrac{CE}{BE} \Rightarrow \dfrac{CL}{CE}=\dfrac{BA}{BE}, και αφού \angle LCE=\angle ACE=\angle ABE, τα \vartriangle LEC, \vartriangle BAE είναι όμοια.

Οπότε, προκύπτει \angle AEB=\angle LEC \Rightarrow \angle ACB=\angle FBC \Rightarrow BF \parallel AC, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ACHIL.png
ACHIL.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παράλληλες χορδές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 24, 2020 10:09 pm

achilleas έγραψε:
Παρ Ιαν 24, 2020 9:27 pm
Έστω ABCD παραλληλόγραμμο με τη γωνία \widehat{B} να είναι αμβλεία και AD>AB. Επιλέγουμε σημεία K και L στη διαγώνιο AC τέτοια ώστε A\widehat{B}K=A\widehat{D}L ( τα σημεία A, K, L, C είναι όλα διαφορετικά, με το K ανάμεσα στο A και το L). Η ευθεία BK τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο \omega του τριγώνου ABC στα σημεία B και E, και η ευθεία EL τέμνει τον \omega στα σημεία E και F. Να δειχθεί ότι BF//AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας
211.PNG
211.PNG (27.92 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Ορίζω το F ως την τομή της παράλληλης από το B στην AC με τον (A,B,C).Το ABFC είναι ισοσκελές τραπέζιο και η AC είναι της DF μεσοκάθετος αφού CF=BF=AB και AF=BC=AD
Αρκεί να δείξω ότι \angle LDA=\angle ABK.
Όμως εύκολα \Delta AFL=\Delta ALD\Rightarrow \angle LDA=\angle AFL=\angle ABE


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2756
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Παράλληλες χορδές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 25, 2020 2:00 pm

Καλησπέρα σας και ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας.

Το παραπάνω πρόβλημα αποτέλεσε ένα από τα προβλήματα της 2ης Ολυμπιάδας των Μητροπόλεων καθώς και το πρόβλημα Μ2482 του Kvant. Στο άρθρο

"Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant", Ion Patrascu.

του Gazeta Matematica, σελ. 64-67, No. 2, (2019), ο συγγραφέας παρουσιάζει τρεις λύσεις.

Η τρίτη από αυτές χρησιμοποιεί ως λήμμα το θέμα που προτείναμε εδώ.

Το αντίστοιχο ποστ στην κοινότητα του AoPS είναι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης