Συνευθειακά για μέγιστο
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Συνευθειακά για μέγιστο
Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτο
Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του που τέμνονται στο . Το σημείο διατρέχει την πλευρά .
Φέρουμε τις και με .
Να εξεταστεί αν το γίνεται μέγιστο όταν το βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Φέρουμε τις και με .
Να εξεταστεί αν το γίνεται μέγιστο όταν το βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Συνευθειακά για μέγιστο
Καλημέρα!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 02, 2020 1:13 amΧαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτοΣυνευθειακά για μέγιστο.PNG
Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του που τέμνονται στο . Το σημείο διατρέχει την πλευρά .
Φέρουμε τις και με .
Να εξεταστεί αν το γίνεται μέγιστο όταν το βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Έστω
Είναι όμοια
Επειδή όμως σταθερό το μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το δηλαδή όταν (το οποίο συμβαίνει όταν συνευθειακά)
Re: Συνευθειακά για μέγιστο
Το όπου το σταθερό μέσο του . (Το αφήνω για ευκολία πληκτρολόγησης )
Οι παράλληλες από το προς τις διαμέσους τέμνουν τις στα .
Έστω ότι το διατρέχει το ( αν διατρέχει το θα εργαστώ ομοίως)
Θέτω : προφανές ότι :
Επειδή: , θα είναι :
.
Αλλά (αληθές)
Δηλαδή : με το ίσον να ισχύει όταν .
Οι παράλληλες από το προς τις διαμέσους τέμνουν τις στα .
Έστω ότι το διατρέχει το ( αν διατρέχει το θα εργαστώ ομοίως)
Θέτω : προφανές ότι :
Επειδή: , θα είναι :
.
Αλλά (αληθές)
Δηλαδή : με το ίσον να ισχύει όταν .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Συνευθειακά για μέγιστο
Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Πρόδρομο και τον Νίκο για την κάλυψη του θέματος!
Μία ακόμη προσέγγιση με χρήση του σχήματος Θέτω . Τότε και .
Φέρω . Τότε . Έχουμε .
Με αντικατάσταση παίρνουμε δηλ παραβολή
που , ως γνωστόν , παρουσιάζει μέγιστο για .Τότε η είναι διάμεσος και τα συνευθειακά.
Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ζητούμενο. Έστω η τομή των . Τότε:
Να δειχθεί ότι το είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα πάνω στην . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Μία ακόμη προσέγγιση με χρήση του σχήματος Θέτω . Τότε και .
Φέρω . Τότε . Έχουμε .
Με αντικατάσταση παίρνουμε δηλ παραβολή
που , ως γνωστόν , παρουσιάζει μέγιστο για .Τότε η είναι διάμεσος και τα συνευθειακά.
Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ζητούμενο. Έστω η τομή των . Τότε:
Να δειχθεί ότι το είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα πάνω στην . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Συνευθειακά για μέγιστο
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Ιαν 03, 2020 6:24 pm
Σταθερό εμβαδόν.PNG
Έστω η τομή των . Τότε:
Να δειχθεί ότι το είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα πάνω στην . Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Καλησπέρα !
Αρκεί το να κινήται επί σταθερής ευθείας παράλληλης στην (τότε το τρίγωνο θα έχει πάντοτε το ίδιο ύψος και ίδια βάση ,την ).
Για να ισχύει αυτό ,αν η τομή με την αρκεί ο λόγος να είναι σταθερός.
Έστω ,τότε θα είναι
και και
Από το θεώρημα Μενελάου στο διατέμνουσας είναι
Επίσης
Έτσι προκύπτει
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Συνευθειακά για μέγιστο
Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση. Ας δούμε και την ακόλουθη
Η τέμνει την στο . Το είναι βαρύκεντρο οπότε παίρνουμε (από τα όμοια τρίγωνα).
Με διαίρεση έχουμε . Έτσι
και
δηλ το είναι παραλληλόγραμμο με το κέντρο του άρα
συνεπώς το κινείται στην μεσοπαράλληλη των και είναι ανεξάρτητο της θέσης του .
Φιλικά, Γιώργος.
Με διαίρεση έχουμε . Έτσι
και
δηλ το είναι παραλληλόγραμμο με το κέντρο του άρα
συνεπώς το κινείται στην μεσοπαράλληλη των και είναι ανεξάρτητο της θέσης του .
Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες