Σελίδα 1 από 1

Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 02, 2020 1:13 am
από Γιώργος Μήτσιος
Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτο
Συνευθειακά για μέγιστο.PNG
Συνευθειακά για μέγιστο.PNG (7.88 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC και οι διάμεσοί του BE,CZ που τέμνονται στο G. Το σημείο R διατρέχει την πλευρά BC.

Φέρουμε τις RI \parallel BE και RH \parallel CZ με I \in AC ...H \in AB.

Να εξεταστεί αν το \left ( HRI \right ) γίνεται μέγιστο όταν το R βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα A,G.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 02, 2020 1:10 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιαν 02, 2020 1:13 am
Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτοΣυνευθειακά για μέγιστο.PNG
Δίνεται τρίγωνο ABC και οι διάμεσοί του BE,CZ που τέμνονται στο G. Το σημείο R διατρέχει την πλευρά BC.

Φέρουμε τις RI \parallel BE και RH \parallel CZ με I \in AC ...H \in AB.

Να εξεταστεί αν το \left ( HRI \right ) γίνεται μέγιστο όταν το R βρεθεί στην ίδια ευθεία με τα A,G.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!
Έστω BX=x,CZ=m_c,BE=m_b
Είναι \dfrac{HR}{m_c}=\dfrac{BX}{BC}\Leftrightarrow HR=\dfrac{xm_c}{a} όμοια RI=\dfrac{\left ( a-x \right )m_b}{a}
\left ( IRH \right )=\dfrac{1}{2}\sin \angle IRH\cdot IR\cdot HR=\dfrac{1}{2}\sin \angle EGZ\cdot m_b\cdot m_c\dfrac{x\left ( a-x\right )}{a^2}
Επειδή όμως \frac{\dfrac{1}{2}\sin \angle EGZ\cdot m_b\cdot m_c}{a^2} σταθερό το (IRH) μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το x(a-x) δηλαδή όταν x=\dfrac{-a}{2\left ( -1 \right )}=\dfrac{a}{2}(το οποίο συμβαίνει όταν A,G,R συνευθειακά)

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 02, 2020 2:41 pm
από Doloros
Το {R_0} \equiv M όπου M το σταθερό μέσο του BC. (Το αφήνω M για ευκολία πληκτρολόγησης )

Οι παράλληλες από το M προς τις διαμέσους CZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE τέμνουν τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L.

Έστω ότι το R διατρέχει το BM( αν διατρέχει το CM θα εργαστώ ομοίως)

Θέτω : BR = d \leqslant \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow a - 2d \geqslant 0\,\,\,(1) προφανές ότι : \widehat {KMK} = \widehat {IRH}
Συνευθειακά και μέγιστο.png
Συνευθειακά και μέγιστο.png (28.34 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές
Επειδή: \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{HR}}{{KM}} = \frac{{BR}}{{BM}} = \frac{{2d}}{a} \hfill \\ 
  \frac{{IR}}{{LM}} = \frac{{CR}}{{CM}} = \frac{{2\left( {a - d} \right)}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{HR \cdot IR}}{{KM \cdot LM}} = \dfrac{{4d\left( {a - d} \right)}}{{{a^2}}} , θα είναι :


\dfrac{{\left( {HIR} \right)}}{{\left( {KLM} \right)}} = \dfrac{{4ad - 4{d^2}}}{{{a^2}}}\,\,\,(2) .

Αλλά \dfrac{{4ad - 4{d^2}}}{{{a^2}}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {a^2} - 4ad + 4{d^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2d} \right)^2} \geqslant 0 (αληθές)

Δηλαδή : \left( {HIR} \right) \leqslant \left( {KLM} \right) με το ίσον να ισχύει όταν R \equiv M\left( { \equiv {R_0}} \right).

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 03, 2020 6:24 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Πρόδρομο και τον Νίκο για την κάλυψη του θέματος!
Μία ακόμη προσέγγιση με χρήση του σχήματος
Συνευθειακά και  μέγιστο PNG.PNG
Συνευθειακά και μέγιστο PNG.PNG (8.01 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Θέτω BR=x\cdot BC=x a..CZ=m_{c}..BE=m_{b}. Τότε HR=xm_{c} και RC=\left ( 1-x \right )a\Rightarrow IC=\dfrac{\left ( 1-x \right )b}{2}.

Φέρω HTD \perp HR . Τότε ID=3IT...IT=IC\cdot \eta \mu \omega . Έχουμε \left ( HRI \right )=\dfrac{HR\cdot ID}{2}.

Με αντικατάσταση παίρνουμε \left ( HRI \right )=\dfrac{3b\cdot m_{c}\cdot \eta \mu \omega }{4}\left ( x-x^{2} \right ) δηλ παραβολή

που , ως γνωστόν , παρουσιάζει μέγιστο για x=\dfrac{1}{2} .Τότε η AR είναι διάμεσος και τα A,G,R συνευθειακά.

Ίσως βρείτε ενδιαφέρον ένα ακόμη ζητούμενο.
Σταθερό εμβαδόν.PNG
Σταθερό εμβαδόν.PNG (7.83 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Έστω O η τομή των GR, HI. Τότε:

Να δειχθεί ότι το (BOC) είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα R πάνω στην BC. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 03, 2020 8:56 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 6:24 pm

Σταθερό εμβαδόν.PNG
Έστω O η τομή των GR, HI. Τότε:

Να δειχθεί ότι το (BOC) είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα R πάνω στην BC. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Καλησπέρα !

Αρκεί το O να κινήται επί σταθερής ευθείας παράλληλης στην BC(τότε το τρίγωνο θα έχει πάντοτε το ίδιο ύψος και ίδια βάση ,την BC).
Για να ισχύει αυτό ,αν T η τομή HI με την CG αρκεί ο λόγος \dfrac{OR}{OG}=\dfrac{OH}{IT} να είναι σταθερός.
Έστω BR=x ,τότε θα είναι \dfrac{BH}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow BH=\dfrac{xc}{2a},\dfrac{HZ}{HA}=\dfrac{\dfrac{c}{2}-\dfrac{xc}{2a}}{c-\dfrac{xc}{2a}}=\dfrac{a-x}{2a-x}
και \dfrac{IC}{\dfrac{b}{2}}=\dfrac{a-x}{a}\Leftrightarrow IC=\dfrac{b\left ( a-x \right )}{2a} και \dfrac{IA}{IC}=\dfrac{b-IC}{IC}=..=\dfrac{a+x}{a-x}

Από το θεώρημα Μενελάου στο ZAC διατέμνουσας \overline{ITH} είναι \dfrac{TC}{TZ}\cdot \dfrac{HZ}{HA}\cdot \dfrac{IA}{IC}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{m_c-TC}\cdot \dfrac{a-x}{2a-x}\cdot \dfrac{a+x}{a-x}\Leftrightarrow TC=\dfrac{m_c\left ( 2a-x \right )}{3a}
Επίσης \dfrac{HR}{m_c}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow HR=\dfrac{m_cx}{a}
Έτσι προκύπτει \dfrac{HR}{GT}=\dfrac{\dfrac{xm_c}{a}}{\dfrac{2}{3}m_c-\dfrac{m_c\left ( 2a-x \right )}{3a}}=3
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε :)

Re: Συνευθειακά για μέγιστο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 10, 2020 1:51 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση. Ας δούμε και την ακόλουθη
Ανεξάρτητο εμβαδόν.PNG
Ανεξάρτητο εμβαδόν.PNG (11.45 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Η RG τέμνει την ZE στο Q. Το G είναι βαρύκεντρο οπότε παίρνουμε RC=2ZQ...BR=2QE (από τα όμοια τρίγωνα).

Με διαίρεση έχουμε \dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}. Έτσι \dfrac{ZH}{HB}=\dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}\Rightarrow HQ\parallel BE\parallel RI

και \dfrac{IC}{IE}=\dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}\Rightarrow IQ\parallel CZ\parallel RH

δηλ το RHQI είναι παραλληλόγραμμο με το O κέντρο του άρα OR=OQ

συνεπώς το O κινείται στην μεσοπαράλληλη των ZE,BC και είναι (BOC)=(BAC)/4 ανεξάρτητο της θέσης του R.
Φιλικά, Γιώργος.