Σελίδα 1 από 1

Συντρέχεια κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 7:56 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
197.PNG
197.PNG (31.76 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Καλησπέρα και Καλό 2020!

Έστω τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O .Έστω CD,BF ύψη και E η τομή της DF με την BC.Θεωρούμε P το συμμετρικό του H ως προς το O και ορίζουμε w_A τον περιγεγραμμένο κύκλο του AEP.Όμοια ορίζουμε τους κύκλους w_B,w_C.
Να αποδειχθεί οι κύκλοι w_A,w_B,w_C συντρέχουν (σε σημείο διαφορετικό του P)
Η επιλογή φακέλου οφείλεται στην δική μου προσέγγιση ίσως προκύψει κάτι απλούστερο

Re: Συντρέχεια κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 9:43 pm
από JimNt.
Ας είναι D,E,F οι προβολές του ορθοκέντρου στις BC, AB, AC και X,Y,Z τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις BC,AB,AC. Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο H και λόγο 1/2 προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι \angle{XAP}=90 \rad. Έτσι το κέντρο του κύκλου w1 βρίσκεται στο μέσο του XP και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των YP και ZP. Είναι γνωστό όμως πως X,Y,Z συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, w1,w2,w3 ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.

Re: Συντρέχεια κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 9:55 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
JimNt. έγραψε:
Τρί Δεκ 31, 2019 9:43 pm
Ας είναι D,E,F οι προβολές του ορθοκέντρου στις BC, AB, AC και X,Y,Z τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις BC,AB,AC. Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο H και λόγο 1/2 προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι \angle{XAP}=90 \rad. Έτσι το κέντρο του κύκλου w1 βρίσκεται στο μέσο του XP και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των YP και ZP. Είναι γνωστό όμως πως X,Y,Z συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, w1,w2,w3 ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.
:coolspeak: Το σχήμα έχει και άλλα ενδιαφέροντα π.χ αν ο w_A τέμνει τον (A,B,C) στο Q τότε η AQ διχοτομεί την BC .

Re: Συντρέχεια κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 10:21 pm
από JimNt.
Ναι όντως. :clap2: