Συντρέχεια κύκλων

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

197.PNG (31.76 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

Καλησπέρα και Καλό 2020!

Έστω τρίγωνο με ορθόκεντρο και περίκεντρο .Έστω ύψη και η τομή της με την .Θεωρούμε το συμμετρικό του ως προς το και ορίζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του .Όμοια ορίζουμε τους κύκλους
Να αποδειχθεί οι κύκλοι συντρέχουν (σε σημείο διαφορετικό του )

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η επιλογή φακέλου οφείλεται στην δική μου προσέγγιση ίσως προκύψει κάτι απλούστερο

[JimNt.]

Ας είναι οι προβολές του ορθοκέντρου στις και τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις . Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο και λόγο προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι . Έτσι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο μέσο του και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των και . Είναι γνωστό όμως πως συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Ας είναι οι προβολές του ορθοκέντρου στις και τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις . Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο και λόγο προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι . Έτσι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο μέσο του και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των και . Είναι γνωστό όμως πως συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.

Το σχήμα έχει και άλλα ενδιαφέροντα π.χ αν ο τέμνει τον στο τότε η διχοτομεί την .

[JimNt.]

Ναι όντως.