Καθετότητα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 24, 2019 5:45 pm

Capture.PNG
Capture.PNG (47.77 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC και D\equiv CO\cap AB,F\equiv BO\cap AC,E\equiv DF\cap BC
Αν η συμμετροδιάμεσος AM του ABC τέμνει τον (A,B,C) στο K να δείξετε ότι KE\perp KA
Την έβαλα εδώ γιατί η λύση που έχω είναι λίγο σύνθετη,αν προκύψει κάτι απλό ....



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 589
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Δεκ 24, 2019 6:22 pm

Ας είναι A' το αντιδιαμετρικό του A και K' το σημείο τομής της EA' με τον κύκλο. Ισχύει A'(BC/AE)=-1 άρα προβάλλοντας από το A' στον κύκλο ABK'C αρμονικό. Επομένως, AK συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 24, 2019 6:36 pm

JimNt. έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 6:22 pm
Ας είναι A' το αντιδιαμετρικό του A και K' το σημείο τομής της EA' με τον κύκλο. Ισχύει A'(BC/AE)=-1 άρα προβάλλοντας από το A' στον κύκλο ABK'C αρμονικό. Επομένως, AK συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.
:coolspeak: Κάτι τέτοιο εννονούσα με το απλό :D ,[είχα ξεχάσει την γνωστή ιδιότητα του αρμονικού τετραπλεύρου ότι αν P τυχόν σημείο του κύκλου που ορίζει τότε η δέσμη P.(A,B,C,D) είναι αρμονική]


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 24, 2019 9:19 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 5:45 pm
Capture.PNG

Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC και D\equiv CO\cap AB,F\equiv BO\cap AC,E\equiv DF\cap BC
Αν η συμμετροδιάμεσος AM του ABC τέμνει τον (A,B,C) στο K να δείξετε ότι KE\perp KA
Την έβαλα εδώ γιατί η λύση που έχω είναι λίγο σύνθετη,αν προκύψει κάτι απλό ....
Αφού δώσω τα εύσημα στο εισηγητή και στον λύτη ας δούμε λίγο διαφορετικά( και με ταλαιπωρία) το θέμα.

Προσωρινά «αγνοώ» τη συμμετροδιάμεσο του \vartriangle ABC που διέρχεται από το A.

Φέρνω την ευθεία AO που τέμνει την BC στο σημείο T και τον κύκλο στο G.

Η ευθεία αυτή , έστω \zeta , είναι η πολική του E ως προς τις δύο ευθείες AB,AC.

Η τετράδα : \left( {B,C\backslash T,E} \right) είναι αρμονική με συνέπεια η πολική του E , ευθεία \varepsilon

ως προς το κύκλο \left( {A,B,C} \right) να διέρχεται από το T.

Ας είναι τώρα K το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {A,B,C} \right) με την EG..
Καθετότητα Φωτιάδη_1.png
Καθετότητα Φωτιάδη_1.png (36.29 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Φέρνω τώρα την ευθεία AK και τέμνει την BC στο M και την ευθεία \varepsilon στο S.

Επειδή η πολική του E ως προς τον κύκλο διέρχεται από το S και η πολική του S

θα διέρχεται από το E κι αφού διέρχεται από το T είναι η ευθεία ET\,\, δηλαδή η BC.

Επομένως η OS θα είναι κάθετη στη BC, άρα και μεσοκάθετος σ αυτή, οπότε οι

SC,\,SB είναι εφαπτομένες του κύκλου , η τετράδα \left( {A,K\backslash M,S} \right) είναι αρμονική

και η ευθεία AM η συμμετροδιάμεσος από το A του \vartriangle ABC.

Επειδή η γωνία : \widehat {EKA} δηλαδή η \widehat {GKA} βαίνει σε ημικύκλιο θα είναι ορθή.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Δεκ 25, 2019 10:59 am

Capture1.PNG
Capture1.PNG (53.25 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
Καλές Γιορτές :santalogo:
Ευχαριστώ για τις λύσεις ,παραθέτω την προσέγγισή μου:

Λήμμα:

Έστω τρίγωνο ABC και D,F οι προβολές των B,C στις AC,AB αντίστοιχα.Αν η DF τέμνει την BC στο E και H το ορθόκεντρο του ABC τότε η EH είναι κάθετη στην διάμεσο AM του ABC.
Απόδειξη: Η δέσμη H(E,G/B,C) είναι αρμονική (G η προβολή του A στην BC) και οι ευθείες HG,HC,HB είναι κάθετες στις :την παράλληλη από το A στην BC(έστω Ax) ,στην AB,στην AC αντίστοιχα .Επειδή όμως και η δέσμη (Ax,AM,AB,AC ) είναι αρμονική από γνωστή πρόταση πρέπει AM,EH κάθετες.
Επιστροφή στην άσκηση:
Αν A' αντιδιαμετρικό του A και T \equiv BC \cap AA' ,N\equiv BA'\cap AC,L\equiv CA' \cap AB .Επειδή το T ανήκει ατην πολική του S αλλά και του E η SE είναι η πολική του .Όμως πρέπει το S να ανήκει στην πολική του N και από La Hire το T ανήκει στην πολική του T δηλαδή την SE.Όμοια ανήκει και το L στην SE.Επειδή
\angle NBA=\angle LCA =90^{\circ} το BCNL είναι εγγράψιμο και αφού SB=SC θα είναι SL=SN.Στο ANL τα NB,LC είναι ύψη και A' ορθόκεντρο άρα από το λήμμα θα είναι η EA' κάθετη στην AS .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης