Άθροισμα λόγων

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9457
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άθροισμα λόγων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 05, 2019 7:25 pm

f(R,r).png
f(R,r).png (18.05 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
΄
Αν I είναι το έγκεντρο τριγώνου ABC και οι AI, BI, CI τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα D, E, F αντίστοιχα,

να εκφράστε το άθροισμα \displaystyle \frac{{ID}}{{IA}} + \frac{{IE}}{{IB}} + \frac{{IF}}{{IC}} συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Άθροισμα λόγων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Οκτ 09, 2019 12:50 pm

Είναι:

AI=\dfrac{r}{sin\dfrac{A}{2}}, \,\,\,\,  \dfrac{AD}{sin(B+\dfrac{A}{2})}=2R, το δεύτερο από νόμο ημιτόνων. Είναι


\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{ID}{IA}+1-1=\dfrac{AD}{IA}-1=\dfrac{2R}{r} sin(B+\dfrac{A}{2})sin(\dfrac{A}{2})-1=\dfrac{R}{r}(cosB+cosC)-1,


και κυκλικά τα υπόλοιπα. Το ζητούμενο άθροισμα γίνεται:


\dfrac{2R}{r}(cosA+cosB+cosC)-3=\dfrac{2R}{r}(\dfrac{r}{R}+1)-3 ( το τελευταίο από τύπο Carnot)


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 773
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άθροισμα λόγων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Νοέμ 19, 2019 7:39 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 05, 2019 7:25 pm
f(R,r).png΄
Αν I είναι το έγκεντρο τριγώνου ABC και οι AI, BI, CI τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα D, E, F αντίστοιχα,

να εκφράστε το άθροισμα \displaystyle \frac{{ID}}{{IA}} + \frac{{IE}}{{IB}} + \frac{{IF}}{{IC}} συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου.
Ελαφρά παραλλαγή της προηγούμενης:
\displaystyle \frac{{ID}}{{IA}} + \frac{{IE}}{{IB}} + \frac{{IF}}{{IC}}=\displaystyle \frac{{ID^2}}{{IA\cdot ID}} + \frac{{IE^2}}{{IB\cdot IE}} + \frac{{IF^2}}{{IC\cdot IF}}=\dfrac{BD^2+BF^2+AE^2}{2rR}=\dfrac{2R^2(1-\cos A)+2R^2(1-\cos B)+2R^2(1-\cos C)}{2Rr}=...=\dfrac{3R-R\left ( \cos A+\cos B+\cos C \right )}{r}=\dfrac{2R-r}{r}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες