Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 28, 2019 7:18 pm

Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι.png
Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Έστω AD το ύψος και O το περίκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. α) Να κατασκευάσετε κύκλο (\omega) που να διέρχεται από το A,

να έχει το κέντρο του επί του ύψους AD και να τέμνει τις AB, AC στα P, Q αντίστοιχα, ώστε BP\cdot CQ= AP\cdot AQ.

β) Να δείξετε ότι ο κύκλος (\omega) εφάπτεται στον περίκυκλο του BOC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 477
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 29, 2019 4:03 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 28, 2019 7:18 pm
Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι.png
Έστω AD το ύψος και O το περίκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. α) Να κατασκευάσετε κύκλο (\omega) που να διέρχεται από το A,

να έχει το κέντρο του επί του ύψους AD και να τέμνει τις AB, AC στα P, Q αντίστοιχα, ώστε BP\cdot CQ= AP\cdot AQ.

β) Να δείξετε ότι ο κύκλος (\omega) εφάπτεται στον περίκυκλο του BOC.
Καλησπέρα!

α)

Έστω L\equiv AD\cap (\omega ).Είναι \angle QPA=\angle QLA=90^{\circ}-\angle LAQ=\angle C.Άρα PQ αντιπαράλληλος και PQBC εγγράψιμο.
Έχουμε τις σχέσεις: \left\{\begin{matrix} & AP\cdot c=AQ\cdot b & \\ & AP\cdot AQ=(b-AQ)\left ( c-AP \right ) & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & AP=\dfrac{bAQ}{c} & \\ & bc=bAP+cAQ & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & AQ=\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}& \\ \\ & AP=\dfrac{b^2c}{b^2+c^2}& \end{matrix}\right.

Παρατηρούμε ότι \dfrac{PB}{PA}=\dfrac{c-\dfrac{b^2c}{b^2+c^2}}{\dfrac{b^2c}{b^2+c^2}}=\dfrac{c^2}{b^2},άρα τα P,Q προκύπτουν αν από το F ,με AF συμμετροδιάμεσο του ABC φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

β)
Έστω ότι οι εφαπτομένες στον (A,B,C) στα σημεία B,C τέμνονται στο S,ως γνωστόν τα A,F,S θα είναι συνευθαιακά.Έστω ότι η AF τέμνει τον (B,C,O) στο σημείο T και K\equiv QP\cap BC
Από το θεώρημα Μενελάου στο ABC με διατέμνουσα \overline{QPK} έχουμε \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{c^4}{b^4}
Είναι BS=CS\Leftrightarrow \angle BTF=\angle FTC\Leftrightarrow \dfrac{BT}{TC}=\dfrac{c^2}{b^2}=\sqrt{KB/KC}
άρα η KT εφάπτεται του (B,O,C) .
Είναι \angle ACT=\angle C-\angle TCB=\angle C-ASB=\angle BAS και όμοια \angle TBP=\angle TAC.Άρα \overset{\Delta }{BAT}\sim \overset{\Delta }{CAT}.Είναι \angle TBP=\angle TAC=\angle TFP άρα PTFB εγγράψιμο
Επειδή \dfrac{BP}{PA}=\dfrac{QA}{QC} είναι \angle QTA=\angle PTB=\angle PFB=\angle C=\angle QPA.
Άρα το T ανήκει στον (A,P,Q) και επειδή KT^2=KB\cdot KC=KP\cdot KQ.Άρα KT θα εφάπτεται και στους δύο κύκλους και το ζητούμενο έπεται.
160.jpg
160.jpg (64.36 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και εφαπτόμενοι κύκλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 01, 2019 1:49 am

Ας είναι L το κέντρο του (B,O,C). Προεκτείνω την DA προς το A κατά τμήμα

AT = OL. Η μεσοκάθετος στο TL τέμνει την AD στο κέντρο του κύκλου που ζητάμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης