ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5337
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Σεπ 22, 2019 10:06 pm

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ABCD με μεγάλη βάση CD , το μέσο M του AD και ο κύκλος  (B,C,M)

που ξανατέμνει την AD στο N. Αν οι διαγώνιες του τραπεζίου τέμνονται στο K ,

να αποδειχθεί ότι KN// AB.
mathematica9-2019.PNG
mathematica9-2019.PNG (19.97 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Πρόκειται για άλλη διατύπωση, πιο ελκυστική, κάποιου θέματος, που δεν γνωρίζω την πηγή του.Αφορμή για την κατασκευή του ήταν ένα θέμα που πρότεινε ο Α.Κυριακόπουλος στις Μαθηματικές Ομάδες.

Μπ
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Δευ Σεπ 23, 2019 4:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 22, 2019 11:44 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 10:06 pm
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ABCD με μεγάλη βάση CD , το μέσο M του AD και ο κύκλος  (B,C,M)

που ξανατέμνει την AD στο N. Αν οι διαγώνιες του τραπεζίου τέμνονται στο K ,

να αποδειχθεί ότι KN// AB.

mathematica9-2019.PNG


Πρόκειται για άλλη διατύπωση, πιο ελκυστική, κάποιου θέματος, που δεν γνωρίζω την πηγή του.

Μπ
Έστω S\equiv AD\cap BC,AB=a,DC=b,AD=x,
\dfrac{SA+x}{SA}=\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow SA=\dfrac{ax}{b-a}(1)

Είναι SN\cdot SM=SB\cdot SC\Leftrightarrow \left ( SA+AN \right )\left ( SA+AM \right )=SA\cdot SD\Leftrightarrow SA^2+SA\cdot AM+AN\left ( SA+AM \right )=\,\,\,=SA\left ( SA+AD \right )\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow AN=\dfrac{SA\cdot AM}{SA+AM}=..=\dfrac{ax}{a+b}

Έτσι έχουμε \dfrac{DN}{NA}=\dfrac{x-\dfrac{ax}{a+b}}{\dfrac{ax}{a+b}}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{DK}{KB}\overset{\Theta \alpha \lambda \acute{\eta} \varsigma }{\Leftrightarrow }NK//AB

139.PNG
139.PNG (19.9 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 23, 2019 11:31 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 10:06 pm
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ABCD με μεγάλη βάση CD , το μέσο M του AD και ο κύκλος  (B,C,M)

που ξανατέμνει την AD στο N. Αν οι διαγώνιες του τραπεζίου τέμνονται στο K ,

να αποδειχθεί ότι KN// AB.

mathematica9-2019.PNG


Πρόκειται για άλλη διατύπωση, πιο ελκυστική, κάποιου θέματος, που δεν γνωρίζω την πηγή του.

Μπ
Έστω AB=a, CD=b και E, H τα σημεία στα οποία ο κύκλος τέμνει τις AB, DC αντίστοιχα. Προφανώς AE=DH.
Ισοσκελές τραπέζιο.Μπ.png
Ισοσκελές τραπέζιο.Μπ.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AN \cdot AM = aAE\\ 
\\ 
DN \cdot DM = bDH = bAE 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \oplus  \boxed{A{D^2} = 2AE(a + b)} (1)

\displaystyle AN \cdot \frac{{AD}}{2} = a \cdot AE\mathop  = \limits^{(1)} a\frac{{A{D^2}}}{{2(a + b)}} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{a}{{a + b}} = \frac{{AK}}{{AC}} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6735
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 23, 2019 1:26 pm

Παρόμοια ( Όπως βλέπω ) με τον Πρόδρομο

Ας είναι S το κοινό σημείο των μη παραλλήλων πλευρών του ισοσκελούς τραπεζίου .
Θέτω :

\boxed{DM = m \Rightarrow BC = DA = 2m\,\,\,,\,\,MN = x \Rightarrow NA = m - x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ND = m + x\,\,,\,\,SA = SB = t\,}

Από τη δύναμη του S έχω: SN \cdot SM = SB \cdot SC \Leftrightarrow \left( {t + m - x} \right)\left( {t + m} \right) = t\left( {t + 2m} \right)

Εκτελώ τις (απλές) πράξεις κι έχω : \boxed{{m^2} = x\left( {t + m} \right)\,}\,\,(1)

Επειδή \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} αρκεί να δείξω ότι \widehat \omega  = \widehat \theta γιατί έτσι θα είναι ταυτόχρονα: SK \bot AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SK \bot KN.
Στεργίου _23_9_19.png
Στεργίου _23_9_19.png (29.05 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
Αρκεί επομένως να δείξω ότι η τετράδα : \left( {A,D\backslash S,N} \right) είναι αρμονική.

Αρκεί προς τούτο: \boxed{\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{SA}}{{SD}} \Leftrightarrow \frac{{m - x}}{{m + x}} = \frac{t}{{t + 2m}} \Leftrightarrow {m^2} = x(m + t)}

που ισχύει λόγω της (1).


Στο διαδίκτυο κυκλοφορεί μια πολύ ωραία λύση με αρμονικές δέσμες και πολικές( ξέρει ο Μπάμπης)


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5337
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Σεπ 23, 2019 2:50 pm

Νίκο, καλό φθινόπωρο !

Όταν βρεις χρόνο(όχι σήμερα, για να την κοιτάξουν και άλλοι φίλοι) , να ανεβάσεις και αυτή τη λύση, γιατί είναι πολύ χρήσιμη για τους μαθητές μας που πάνε σε διαγωνισμούς !

Μπ


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ , ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Σεπ 23, 2019 3:34 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 10:06 pm
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ABCD με μεγάλη βάση CD , το μέσο M του AD και ο κύκλος  (B,C,M)

που ξανατέμνει την AD στο N. Αν οι διαγώνιες του τραπεζίου τέμνονται στο K ,

να αποδειχθεί ότι KN// AB.

mathematica9-2019.PNG


Πρόκειται για άλλη διατύπωση, πιο ελκυστική, κάποιου θέματος, που δεν γνωρίζω την πηγή του.

Μπ
Μια ακόμη λύση:

Έστω S\equiv DA\cap CB
Θεωρούμε (o) τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABCD κέντρου O.
Από τις τέμνουσες \overline{SAD},\overline{SBC} η πολική του S (ως προς τον (o)) θα διέρχεται από το K και θα είναι κάθετη στην SO.Άρα αρκεί KN η πολική του S.Από γνωστό λήμμα αρκεί να είναι \left ( S,N/A,D \right )=-1.
Από το αντίστροφο της σχέσης Mac Laurin αρκεί να είναι SA\cdot SD=SN\cdot SM\Leftrightarrow SN\cdot SM=SB\cdot SC που ισχύει.

140.PNG
140.PNG (29.71 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης