Σταθερό σημείο του περίκυκλου

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 20, 2019 7:32 pm

Σταθερό σημείο του περίκυκλου.png
Σταθερό σημείο του περίκυκλου.png (19.56 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC και P ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου διαφορετικό

των A, B. Αν Q είναι το σημείο τομής των BH, AP, να δείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου HQP διέρχεται από

σταθερό σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 393
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Σεπ 21, 2019 9:33 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 7:32 pm
Σταθερό σημείο του περίκυκλου.png
Έστω H το ορθόκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC και P ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου διαφορετικό

των A, B. Αν Q είναι το σημείο τομής των BH, AP, να δείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου HQP διέρχεται από

σταθερό σημείο.
Καλημέρα!

Έστω ότι ο περίκυκλος του HQP τέμνει τον (A,B,C) στο N και ότι η NC τέμνει ξανά τον (H,O,P) στο L.
Είναι \angle LQP=\angle LNP=\angle CNP=\angle CAP\Leftrightarrow AC//QL\Leftrightarrow QL\perp BH\Leftrightarrow \angle CNH=90^{\circ}
Δηλαδή το N είναι η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου HC με τον (A,B,C) άρα σταθερό.
136.PNG
136.PNG (43.65 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 21, 2019 11:14 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 21, 2019 9:33 am
george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 7:32 pm
Σταθερό σημείο του περίκυκλου.png
Έστω H το ορθόκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC και P ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου διαφορετικό

των A, B. Αν Q είναι το σημείο τομής των BH, AP, να δείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου HQP διέρχεται από

σταθερό σημείο.
Καλημέρα!

Έστω ότι ο περίκυκλος του HQP τέμνει τον (A,B,C) στο N και ότι η NC τέμνει ξανά τον (H,O,P) στο L.
Είναι \angle LQP=\angle LNP=\angle CNP=\angle CAP\Leftrightarrow AC//QL\Leftrightarrow QL\perp BH\Leftrightarrow \angle CNH=90^{\circ}
Δηλαδή το N είναι η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου HC με τον (A,B,C) άρα σταθερό.
136.PNG
Στοιχειώδης και απλή :clap2: :clap2: (Υπάρχουν και πιο πολύπλοκες λύσεις, έτσι επιλέχτηκε αυτός ο φάκελος).


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Σεπ 21, 2019 12:33 pm

Γενίκευση:
Έστω τρίγωνο ABC και H σημείο στην BC.Παίρνουμε μεταβλητό σημείο P επίσης στην BC και Q την τομή AP,(ABC).
Τότε ο (HPQ) περνάει από το σημείο που η ισογώνια της ισοτομικής της AH τέμνει τον (ABC).
Η απόδειξη,απλή.(Πάρτε πάλι την τομή NH,(ABC) όπου N το "σταθερό" σημείο, και δείξτε ότι αυτό το σημείο είναι το συμμετρικό του A ως προς τη μεσοκάθετο της BC.)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 22, 2019 6:25 pm

Και ένα επιπλέον ερώτημα: Στο σχήμα του Πρόδρομου, να δείξετε ότι η NH διέρχεται από το μέσο της πλευράς AB.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 393
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 22, 2019 7:06 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 6:25 pm
Και ένα επιπλέον ερώτημα: Στο σχήμα του Πρόδρομου, να δείξετε ότι η NH διέρχεται από το μέσο της πλευράς AB.
Έστω M μέσον του AB και C' το αντιδιαμετρικό του C ως προς τον κύκλο (A,B,C).Είναι γνωστό ότι H,M,C' συνευθειακά και επειδή \angle CNH=90^{\circ}=\angle CNC'
θα είναι N,H,C' συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται .
138.PNG
138.PNG (23.52 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης