Ανισότητα σε οξυγώνειο τρίγωνο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα σε οξυγώνειο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 15, 2019 11:03 am

Να δειχθεί ότι σε κάθε οξυγώνειο τρίγωνο ABC ισχύει:

\displaystyle{\frac{\sin A \sin B}{\cos C} + \frac{\sin B \sin C}{\cos A} + \frac{\sin C \sin A}{\cos B} \geq \frac{9}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα σε οξυγώνιο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 17, 2019 7:08 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 11:03 am
Να δειχθεί ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ABC ισχύει:

\displaystyle{\frac{\sin A \sin B}{\cos C} + \frac{\sin B \sin C}{\cos A} + \frac{\sin C \sin A}{\cos B} \geq \frac{9}{2}}

Έστω \displaystyle x = \frac{{\sin A\sin B}}{{\cos C}},y = \frac{{\sin B\sin C}}{{\cos A}},z = \frac{{\sin C\sin A}}{{\cos B}}

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{2\sin A\sin B\sin C}} = \frac{{4\sin A\sin B\sin C}}{{2\sin A\sin B\sin C}} = 2 (*)

Επειδή όμως οι γωνίες είναι οξείες, θα είναι \displaystyle (x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \boxed{x+y+z\ge \frac{9}{2}}


(*) Απόδειξη ότι \sin2A+\sin2B+\sin2C=4\sin A\sin B \sin C.

\displaystyle \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin (A + B)\cos (A - B) + 2\sin C\cos C =

\displaystyle 2\sin C\left( {\cos (A - B) - \cos (A + B)} \right) = 4\sin A\sin B\sin C


Νομίζω ότι είναι υπερβολική για φάκελο Θαλή-Ευκλείδη εκτός κι αν υπάρχει ευκολότερος τρόπος.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα σε οξυγώνειο τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 17, 2019 7:25 pm

Δίδω τη λύση που είδα για την ανισότητα αυτή...

Εφόσον A+B+C = \pi έχουμε ότι:

\displaystyle{\cos C = -\cos (A +B ) = -\cos A \cos B + \sin A \sin B \quad (1)} οπότε

\displaystyle{\frac{\sin A \sin B}{\cos C} = 1 + \frac{\cos A \cos B}{\cos C} = 1 + \frac{\tan C}{\tan A + \tan B} \qquad (2)} Οπότε από Nesbitt έχουμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned}  
\sum \frac{\sin A \sin B}{\cos C} &= \sum \left ( 1 + \frac{\tan C}{\tan A + \tan B} \right ) \\  
&=3 + \sum \frac{\tan C}{\tan A + \tan B} \\  
&\geq 3 + \frac{3}{2} \\  
&= \frac{9}{2}  
\end{aligned}}
με την ισότητα να ισχύει όταν A=B=C=\frac{\pi}{3}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα σε οξυγώνειο τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 18, 2019 5:20 pm

Και μία γεωμετρική, βασισμένη σε αυτό
Αν τα ύψη AD, BE, CZ τέμνονται στο H τότε \displaystyle \frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CZ}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AH}} + \frac{{BE}}{{BH}} + \frac{{CZ}}{{CH}} \ge \frac{9}{2}

Το πρώτο μέλος της τελευταίας ανισότητας είναι το \displaystyle \sum {\frac{{\sin A\sin B}}{{\cos C}}} και το ζητούμενο έπεται. Πράγματι,

\displaystyle \frac{{\sin A\sin B}}{{\cos C}} = \frac{{\frac{a}{{2R}} \cdot \frac{b}{{2R}}}}{{\frac{{CH}}{{2R}}}} = \frac{{ab}}{{2R \cdot CH}} = \frac{{2R \cdot CZ}}{{2R \cdot CH}} = \frac{{CZ}}{{CH}}, κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης