Σελίδα 1 από 1

Ανισότητα σε τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 5:50 pm
από Tolaso J Kos
Έστω τρίγωνο ABC και a, b, c οι πλευρές αυτού. Αν abc \geq 1 τότε να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sqrt{\frac{\sin A}{a^3+b^6+c^6}} + \sqrt{\frac{\sin B}{b^3+c^6+a^6}} + \sqrt{\frac{\sin C}{c^3 + a^6+b^6}} \leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}}

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 18, 2019 10:26 pm
από ksofsa
Από Cauchy Schwartz έχω

(a^3+b^6+c^6)(a^3+2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow \frac{sinA}{a^3+b^6+c^6}\leq \frac{sinA(a^3+2)}{(a^3+b^3+c^3)^2}

Αρα αρκεί:

\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\sum \sqrt{sinA(a^3+2)}\leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^3+b^3+c^3)^2

Ομως από Cauchy Schwartz και Jensen έχω

(\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq (sinA +sinB+sinC)(a^3+b^3+c^3+6)\leq

3sin\frac{\pi }{3}(a^3+b^3+c^3+6)=\frac{3\sqrt{3}}{2}(a^3+b^3+c^2+6)

Αρα αρκεί a^3+b^3+c^3+6\leq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3+2)(a^3+b^3+c^3-3)\geq 0

που ισχύει διότι από ΑΜ-ΓΜ έχω a^3+b^3+c^3\geq 3abc\geq 3.