Τομή πάνω στην πλευρά

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 477
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Τομή πάνω στην πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Σεπ 02, 2019 10:54 pm

122.PNG
122.PNG (42.98 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
Έστω τρίγωνο ABC και D,Z τυχαία σημεία στο ημιεπίπεδο που ορίζει η AC και δεν ανήκει το B.
Θεωρούμε τις τομές:
L\equiv CD\cap AZ,E\equiv AZ\cap BD,P\equiv BZ\cap CD,N\equiv BD\cap AC,M\equiv BZ\cap AC,K\equiv LN\cap AB,F\equiv LM\cap BC

Να δείξετε ότι οι EF,KP τέμνονται πάνω στην AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3972
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τομή πάνω στην πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Σεπ 06, 2019 11:19 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Σεπ 02, 2019 10:54 pm
122.PNG

Έστω τρίγωνο ABC και D,Z τυχαία σημεία στο ημιεπίπεδο που ορίζει η AC και δεν ανήκει το B.
Θεωρούμε τις τομές:
L\equiv CD\cap AZ,E\equiv AZ\cap BD,P\equiv BZ\cap CD,N\equiv BD\cap AC,M\equiv BZ\cap AC,K\equiv LN\cap AB,F\equiv LM\cap BC

Να δείξετε ότι οι EF,KP τέμνονται πάνω στην AC.
τομή επί της πλευράς.png
τομή επί της πλευράς.png (47.28 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Με N\equiv EB\cap AC\cap KL προκύπτει ότι τα τρίγωνα EAK,BCL είναι προοπτικά οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Desargues τα σημεία τομής των αντιστοίχων πλευρών τους θα είναι συνευθειακά , δηλαδή τα Q\equiv EA\cap BC, O\equiv AK\cap CL , T\equiv KE\cap LBείναι συνευθειακά. Ομοίως από M\equiv CA\cap FL\cap PB προκύπτει ότι τα τρίγωνα CFP,ALB είναι προοπτικά οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Desargues τα σημεία τομής των αντιστοίχων πλευ ρών τους θα είναι συνευθειακά , δηλαδή το σημείο τομής των FP,LB ανήκει στην ευθεία των σημείων τομής των δύο άλλων αντιστοίχων πλευρών τους, δηλαδή στην ευθεία QLμε Q\equiv CF\cap AL,O\equiv CP\cap AB, δηλαδή T\equiv FP\cap BL (αφού η BL έτεμνε (από την πρώτη προοπτικότητα την ευθεία OQ στο T. Τότε όμως τα σημεία O\equiv AK\cap CP,T\equiv KE\cap PF,Q\equiv EA\cap FC είναι συνευθειακά οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος Desargues τα τρίγωνα AKE,CPF είναι προοπτικά και συνεπώς AC\cap KP\cap EF\equiv S και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 477
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τομή πάνω στην πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 08, 2019 1:41 pm

Δίνω μία ακόμη προσέγγιση,

Έστω H\equiv PN\cap EM,S\equiv AC\cap LH. Θα δείξουμε ότι E,S,F συνευθειακά και όμοια θα είναι και K,S,P συνευθειακά.

Με θεώρημα Μενελάου στο BPC με διατέμνουσα \overline{FML} είναι:

\dfrac{FC}{FB}\cdot \dfrac{MB}{MP}\cdot \dfrac{LP}{LC}=1\Leftrightarrow \dfrac{FC}{FB}=\dfrac{LC\cdot MP}{MB\cdot LP}(1)

Με θεώρημα Μενελάου στο  NPC με διατέμνουσα \overline{SHL} είναι:
\dfrac{SN}{SC}\cdot \dfrac{LP}{LC}\cdot \dfrac{HP}{HN}=1\Leftrightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{LP\cdot HN}{LC\cdot HP}(2)

Με θεώρημα Μενελάου στο BNP με διατέμνουσα \overline{EHM} είναι :

\dfrac{EB}{EN}\cdot \dfrac{HN}{HP}\cdot \dfrac{MP}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{EB}{EN}=\dfrac{MP\cdot HP}{MB\cdot HN}(3)

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των  (1),(2),(3) παίρνουμε από το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου στο BNC ότι E,S,F συνευθειακά.

Υ.Γ Υποψιάζομαι ότι η λύση θα ήταν πιο σύντομη με το θ.Desargues αλλά δεν έχω εμπειρία πάνω του.
126.PNG
126.PNG (41.71 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης