Παράωρη Συνευθειακότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Παράωρη Συνευθειακότητα
Έστω τρίγωνο και το έκκεντρο και τα παράκεντρά του.
Ας είναι τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις
Νδο:
1)Οι συντρέχουν σε σημείο .
2)Ισχύει πως όπου το σημείο του (το σημείο που ο έγκυκλος εφάπτεται στον κύκλο του του ).
Ας είναι τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις
Νδο:
1)Οι συντρέχουν σε σημείο .
2)Ισχύει πως όπου το σημείο του (το σημείο που ο έγκυκλος εφάπτεται στον κύκλο του του ).
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Παράωρη Συνευθειακότητα
Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του και έστω πως εφάπτεται στις στα σημεία .
Έστω τώρα το συμμετρικό του ως προς το και το συμμετρικό του ως προς το .
Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Έστω το σημείο επαφής του -παραγεγραμμένου κύκλου με την (δηλαδή το σημείο τομής της με την ).
Αφού και και οι και είναι παράλληλες, προκύπτει ότι οι , και συντρέχουν.
Όμως οι και ως γνωστό διέρχονται από το (για την δεύτερη ευθεία είναι γνωστό λήμμα), οπότε τελικά τα , , είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε τώρα ομοιοθεσία με κέντρο το και λόγο . Θεωρούμε τώρα τα μέσα των .
Αρκεί να δείξουμε ότι οι συντρέχουν στο .
Θα δείξουμε ότι η διέρχεται από το και όμοια θα ισχύει και για τις άλλες.
Φέρνουμε τον κύκλο διαμέτρου . Σε αυτόν ανήκουν τα και . Έστω πως οι και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.
Είναι γνωστό λήμμα ότι οι και , όπως και και είναι κάθετες. Οπότε τα και ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου .
Έστω και τα συμμετρικά του ως προς τα και αντίστοιχα.
Στο τρίγωνο έχουμε πως η είναι διάμεσος και ύψος, οπότε είναι και διχοτόμος, δηλαδή τελικά το ανήκει στην , όπως και το .
Έστω και τα μέσα των και . Ισχύει τώρα ότι και ότι , άρα αφού τα είναι συνευθειακά.
Έστω πως η (δηλαδή η ) τέμνει την στο και πως η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο .
Από λήμμα το είναι το σημείο του .
Έστω πως η τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία .
Το ως η τομή των και ανήκει στην πολική του , οπότε τα .
Ακόμη είναι , οπότε το είναι εγγράψιμο και συνεπώς .
Από το αντίστροφο τώρα της σχέσης MacLaurin στις αρμονικές τετράδες προκύπτει ότι το είναι μέσο του , οπότε λαμβάνοντας υπόψιν ότι το είναι το κέντρο του κύκλου διαμέτρου προκύπτει ότι , δηλαδή , δηλαδή η διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του στον εγγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή το .
Οπότε τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται!
Έστω τώρα το συμμετρικό του ως προς το και το συμμετρικό του ως προς το .
Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Έστω το σημείο επαφής του -παραγεγραμμένου κύκλου με την (δηλαδή το σημείο τομής της με την ).
Αφού και και οι και είναι παράλληλες, προκύπτει ότι οι , και συντρέχουν.
Όμως οι και ως γνωστό διέρχονται από το (για την δεύτερη ευθεία είναι γνωστό λήμμα), οπότε τελικά τα , , είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε τώρα ομοιοθεσία με κέντρο το και λόγο . Θεωρούμε τώρα τα μέσα των .
Αρκεί να δείξουμε ότι οι συντρέχουν στο .
Θα δείξουμε ότι η διέρχεται από το και όμοια θα ισχύει και για τις άλλες.
Φέρνουμε τον κύκλο διαμέτρου . Σε αυτόν ανήκουν τα και . Έστω πως οι και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.
Είναι γνωστό λήμμα ότι οι και , όπως και και είναι κάθετες. Οπότε τα και ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου .
Έστω και τα συμμετρικά του ως προς τα και αντίστοιχα.
Στο τρίγωνο έχουμε πως η είναι διάμεσος και ύψος, οπότε είναι και διχοτόμος, δηλαδή τελικά το ανήκει στην , όπως και το .
Έστω και τα μέσα των και . Ισχύει τώρα ότι και ότι , άρα αφού τα είναι συνευθειακά.
Έστω πως η (δηλαδή η ) τέμνει την στο και πως η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο .
Από λήμμα το είναι το σημείο του .
Έστω πως η τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία .
Το ως η τομή των και ανήκει στην πολική του , οπότε τα .
Ακόμη είναι , οπότε το είναι εγγράψιμο και συνεπώς .
Από το αντίστροφο τώρα της σχέσης MacLaurin στις αρμονικές τετράδες προκύπτει ότι το είναι μέσο του , οπότε λαμβάνοντας υπόψιν ότι το είναι το κέντρο του κύκλου διαμέτρου προκύπτει ότι , δηλαδή , δηλαδή η διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του στον εγγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή το .
Οπότε τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται!
Houston, we have a problem!
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Παράωρη Συνευθειακότητα
Καλησπέρα!
Είναι σωστή η παρακάτω προσέγγιση για το 1 ;
Θεωρώ το εξής ισοδύναμο πρόβλημα:
Έστω τρίγωνο , το ορθικό του και τα συμμετρικά των ως προς τις .Να δειχθεί ότι συντρέχουν:
Έστω .
Επειδή όμοια το προκύπτει από το από στροφή κέντρου και γωνίας και ομοιοθεσία ( τα παραπάνω χρειάζονται περισσότερη δικαιολόγιση;)
Αφού είναι εγγράψιμο .
Όμως
και το ζητούμενο έπεται .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες