Παράωρη Συνευθειακότητα

[min##]

Έστω τρίγωνο και το έκκεντρο και τα παράκεντρά του.
Ας είναι τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις
Νδο:
1)Οι συντρέχουν σε σημείο .
2)Ισχύει πως όπου το σημείο του (το σημείο που ο έγκυκλος εφάπτεται στον κύκλο του του ).

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του και έστω πως εφάπτεται στις στα σημεία .

Έστω τώρα το συμμετρικό του ως προς το και το συμμετρικό του ως προς το .

Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.

Έστω το σημείο επαφής του -παραγεγραμμένου κύκλου με την (δηλαδή το σημείο τομής της με την ).

Αφού και και οι και είναι παράλληλες, προκύπτει ότι οι , και συντρέχουν.

Όμως οι και ως γνωστό διέρχονται από το (για την δεύτερη ευθεία είναι γνωστό λήμμα), οπότε τελικά τα , , είναι συνευθειακά.

Θεωρούμε τώρα ομοιοθεσία με κέντρο το και λόγο . Θεωρούμε τώρα τα μέσα των .

Αρκεί να δείξουμε ότι οι συντρέχουν στο .

Θα δείξουμε ότι η διέρχεται από το και όμοια θα ισχύει και για τις άλλες.

Φέρνουμε τον κύκλο διαμέτρου . Σε αυτόν ανήκουν τα και . Έστω πως οι και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.

Είναι γνωστό λήμμα ότι οι και , όπως και και είναι κάθετες. Οπότε τα και ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου .

Έστω και τα συμμετρικά του ως προς τα και αντίστοιχα.

Στο τρίγωνο έχουμε πως η είναι διάμεσος και ύψος, οπότε είναι και διχοτόμος, δηλαδή τελικά το ανήκει στην , όπως και το .

Έστω και τα μέσα των και . Ισχύει τώρα ότι και ότι , άρα αφού τα είναι συνευθειακά.

Έστω πως η (δηλαδή η ) τέμνει την στο και πως η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο .

Από λήμμα το είναι το σημείο του .

Έστω πως η τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία .

Το ως η τομή των και ανήκει στην πολική του , οπότε τα .

Ακόμη είναι , οπότε το είναι εγγράψιμο και συνεπώς .

Από το αντίστροφο τώρα της σχέσης MacLaurin στις αρμονικές τετράδες προκύπτει ότι το είναι μέσο του , οπότε λαμβάνοντας υπόψιν ότι το είναι το κέντρο του κύκλου διαμέτρου προκύπτει ότι , δηλαδή , δηλαδή η διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του στον εγγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή το .

Οπότε τα είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται!

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Έστω τρίγωνο και το έκκεντρο και τα παράκεντρά του.
Ας είναι τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις
Νδο:
1)Οι συντρέχουν σε σημείο .
2)Ισχύει πως όπου το σημείο του (το σημείο που ο έγκυκλος εφάπτεται στον κύκλο του του ).

Καλησπέρα!

Είναι σωστή η παρακάτω προσέγγιση για το 1 ;

Θεωρώ το εξής ισοδύναμο πρόβλημα:
Έστω τρίγωνο , το ορθικό του και τα συμμετρικά των ως προς τις .Να δειχθεί ότι συντρέχουν:

Έστω .
Επειδή όμοια το προκύπτει από το από στροφή κέντρου και γωνίας και ομοιοθεσία ( τα παραπάνω χρειάζονται περισσότερη δικαιολόγιση;)
Αφού είναι εγγράψιμο .

Όμως
και το ζητούμενο έπεται .

Capture.PNG (54.3 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές