Συντρέχουν στον Euler

[min##]

Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Ιδιαίτερα εύκολη πρόταση και υποψιάζομαι και τη γενίκευση . Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί αργότερα (ίσως από Ελλάδα )

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Καλημέρα!


Θεωρούμε τα περίκεντρα και και τα ορθόκεντρα των αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα ανήκουν στον κύκλο του τριγώνου δηλαδή στον περίκυκλο του DEF(δεν μου το εμφάνιζε σε Latex ).
Είναι ,όμοια και τα υπόλοιπα.

Έστω .Θα αποδείξουμε ότι το ανήκει στον κύκλο του τριγώνου ,αρκεί εγγράψιμο δηλαδή αρκεί

Θεωρούμε ,επειδή όμως
έχουμε έτσι εγγράψιμο.

Αν τότε από το προφανές(από τα παραπάνω) εγγράψιμο είναι έτσι το αν'ήκει στην δηλαδή η ευθεία του .

Capture.PNG (82.52 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

[min##]

Μια χαρά-μια από αυτές που έχω υπόψη μου και γενικεύεται σε οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το περίκεντρο των ομοίων τριγώνων.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Έστω τρίγωνο και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες των συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του .
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση

Το προκύπτει από στροφή (γύρο από το ) και ομοιοθεσία (προφανώς όμοια από τα εγγράψιμα τετράπλευρα…) του τριγώνου «αριστερόστροφα» κατά γωνία και συνεπώς οι ευθείς Euler (ομόλογες ευθείες) θα σχηματίζουν γωνία και νομίζω κάπου εδώ τελειώσαμε…

Υ.Σ. Συγνώμη για το "σύντομο" της απάντησης αλλά ο χρόνος μου είναι περιορισμένος