Συντρέχουν στον Euler

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Συντρέχουν στον Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am

Έστω τρίγωνο ABC και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler των AEF,BDF,CFD συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3950
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουν στον Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Αύγ 14, 2019 2:13 am

min## έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am
Έστω τρίγωνο ABC και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler των AEF,BDF,CFD συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση
Ιδιαίτερα εύκολη πρόταση και υποψιάζομαι και τη γενίκευση . Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί αργότερα (ίσως από Ελλάδα :plane: )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συντρέχουν στον Euler

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 pm

min## έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am
Έστω τρίγωνο ABC και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler των AEF,BDF,CFD συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση
Καλημέρα!


Θεωρούμε O_1,O_2,O_3 τα περίκεντρα και H_1,H_2,H_3 και τα ορθόκεντρα των AEF,BDF,CFD αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα O_1,O_2,O_3 ανήκουν στον κύκλο \textrm{Euler} του τριγώνου ABC δηλαδή στον περίκυκλο του DEF(δεν μου το εμφάνιζε σε Latex :? ).
Είναι \angle DFE+DO_3E=(180^{\circ}-2\angle C)+2\angle C=180^{\circ} ,όμοια και τα υπόλοιπα.

Έστω L\equiv O_1H_1\cap O_2H_2.Θα αποδείξουμε ότι το L ανήκει στον κύκλο \textrm{Euler} του τριγώνου ABC,αρκεί O_1O_2O_3L εγγράψιμο δηλαδή αρκεί \angle O_1LO_2=\angle C

Θεωρούμε K_1\equiv H_1O_1\cap AB,K_2\equiv FD\cap H_2O_2,επειδή όμως \overset{\Delta }{AFE}\sim \overset{\Delta }{BDF}
έχουμε \angle LK_1A=\angle H_2K_2H=\angle FK_2L\Leftrightarrow FK_1LK_2\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha }\psi \iota \mu o \Leftrightarrow \angle O_1LO_2=\angle BFD=\angle C έτσι O_1O_2O_3L εγγράψιμο.

Αν K_3\equiv BC\cap LO_3 τότε από το προφανές(από τα παραπάνω) εγγράψιμο K_1LK_3B είναι \angle O_3K_3B=\angle LK_1A έτσι το H_3 αν'ήκει στην LO_3 δηλαδή  LO_3 η ευθεία \textrm{Euler} του DEC.

Capture.PNG
Capture.PNG (82.52 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές


min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουν στον Euler

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Αύγ 14, 2019 12:57 pm

Μια χαρά-μια από αυτές που έχω υπόψη μου και γενικεύεται σε οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το περίκεντρο των ομοίων τριγώνων.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3950
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουν στον Euler

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Αύγ 14, 2019 1:09 pm

min## έγραψε:
Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am
Έστω τρίγωνο ABC και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler των AEF,BDF,CFD συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση
Το \vartriangle FEA προκύπτει από στροφή (γύρο από το F ) και ομοιοθεσία (προφανώς όμοια από τα εγγράψιμα τετράπλευρα…) του τριγώνου \vartriangle FBD «αριστερόστροφα» κατά γωνία {{180}^{0}}-\angle C και συνεπώς οι ευθείς Euler (ομόλογες ευθείες) θα σχηματίζουν γωνία {{180}^{0}}-\angle C και νομίζω κάπου εδώ τελειώσαμε…

Υ.Σ. Συγνώμη για το "σύντομο" της απάντησης αλλά ο χρόνος μου είναι περιορισμένος


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης