Γεωμετρικοί διάλογοι

[Al.Koutsouridis]

Ο Πέτρος σχεδίασε στο επίπεδο δυο τρίγωνα, το και . Είπε στον Κώστα: «Στο τρίγωνο ικανοποιείται η εξίσωση:

.

Ποια γωνία σε αυτό είναι μικρότερη;» «Και τι είναι τα και ;», ρώτησε ο Κώστας. «Είναι οι συντεταγμένες του σημείου στο επίπεδο», και ο Πέτρος υπόδειξε στο πρώτο τεταρτημόριο αυτό το σημείο. «Δεν μου επαρκούν τα δεδομένα, ώστε να λύσω το πρόβλημα», μετά από σκέψη αποκρίθηκε ο Κώστας.

«Τότε λύσε ένα άλλο πρόβλημα. Στο τρίγωνο ικανοποιείται η ισότητα: , τα και είναι οι συντεταγμένες του σημείου », και ο Πέτρος υπέδειξε ένα άλλο σημείο στο πρώτο τεταρτημόριο. «Τότε η μικρότερη γωνία, είναι …», είπε ο Κώστας.

Τι μπορεί να ειπωθεί για την θέση των σημείων και στο επίπεδο, με την παραδοχή, ότι ο Κώστας και στις δυο περιπτώσεις έλυσε σωστά το πρόβλημα; Ποια γωνία ονόμασε ο Κώστας;

[rek2]

Ο Πέτρος σχεδίασε στο επίπεδο δυο τρίγωνα, το και . Είπε στον Κώστα: «Στο τρίγωνο ικανοποιείται η εξίσωση:

.

Ποια γωνία σε αυτό είναι μικρότερη;» «Και τι είναι τα και ;», ρώτησε ο Κώστας. «Είναι οι συντεταγμένες του σημείου στο επίπεδο», και ο Πέτρος υπόδειξε στο πρώτο τεταρτημόριο αυτό το σημείο. «Δεν μου επαρκούν τα δεδομένα, ώστε να λύσω το πρόβλημα», μετά από σκέψη αποκρίθηκε ο Κώστας.

«Τότε λύσε ένα άλλο πρόβλημα. Στο τρίγωνο ικανοποιείται η ισότητα: , τα και είναι οι συντεταγμένες του σημείου », και ο Πέτρος υπέδειξε ένα άλλο σημείο στο πρώτο τεταρτημόριο. «Τότε η μικρότερη γωνία, είναι …», είπε ο Κώστας.

Τι μπορεί να ειπωθεί για την θέση των σημείων και στο επίπεδο, με την παραδοχή, ότι ο Κώστας και στις δυο περιπτώσεις έλυσε σωστά το πρόβλημα; Ποια γωνία ονόμασε ο Κώστας;

Αλέξανδρε, "παίζει" κάτι τέτοιο στην απάντηση;

[S.E.Louridas]

Ακυρώνω την καταρχάς απάντηση μου με βάση το Θεώρημα MacLauren, αφού το θέμα πάει αλλού.

[Al.Koutsouridis]

Αλέξανδρε, "παίζει" κάτι τέτοιο στην απάντηση;

Η απάντηση είναι, την μεταφέρω από το βιβλίο του Τόλπιγκο "Μη στάνταρ προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων" από όπου και την πήρα, γιατί δεν έχω λύσει το πρόβλημα για επαλήθευση:

Ο Κώστας ονόμασε το σημείο . Το σημείο στο επίπεδο βρίσκεται στο εσωτερικό του μη κυρτού τετράπλευρου με , , , ή στο σύνορό του. Το σημείο αντίστοιχα εκτός αυτού.

[rek2]

Αλέξανδρε, θέλει ψάξιμο!

Η απάντηση ελλιπής μου φαίνεται.

Για παράδειγμα, σε καμμία περίπτωση δεν δείχνει σημείο του χωρίου που ορίζεται από τις ανισότητες x>1 και y>1, αφού από την τριγωνική ανισότητα η πλευρά ΑΒ θα ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών.

Ακόμα, αν έχω π.χ. την ισότητα γ=1,4β+0,7α μπορώ να βρω ότι η πλευρά β είναι μικρότερη από τις άλλες δύο, άρα η γωνία Β είναι η μικρότερη.

Τεσπα! Οψόμεθα!

[Al.Koutsouridis]

Αλέξανδρε, θέλει ψάξιμο!

Η απάντηση ελλιπής μου φαίνεται.

Για παράδειγμα, σε καμμία περίπτωση δεν δείχνει σημείο του χωρίου που ορίζεται από τις ανισότητες x>1 και y>1, αφού από την τριγωνική ανισότητα η πλευρά ΑΒ θα ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών.

Ακόμα, αν έχω π.χ. την ισότητα γ=1,4β+0,7α μπορώ να βρω ότι η πλευρά β είναι μικρότερη από τις άλλες δύο, άρα η γωνία Β είναι η μικρότερη.

Τεσπα! Οψόμεθα!

Καλημέρα κ.Κώστα,

Νομίζω η απάντηση στο βιβλίο έχει τυπογραφικό και τα χωρία των και είναι ανάποδα. Το βρίσκεται στο εσωτερικό του παραπάνω μη κυρτού τετράπλευρου και το στο εξωτερικό. Επίσης στην παραπάνω απάντηση έχει γίνει κανονικοποίηση, θεώρηση ότι .