Γεωμετρικοί διάλογοι

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γεωμετρικοί διάλογοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Αύγ 07, 2019 10:57 pm

Ο Πέτρος σχεδίασε στο επίπεδο δυο τρίγωνα, το ABC και A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime. Είπε στον Κώστα: «Στο τρίγωνο ABC ικανοποιείται η εξίσωση:

AB=mAC+nBC.

Ποια γωνία σε αυτό είναι μικρότερη;» «Και τι είναι τα m και n;», ρώτησε ο Κώστας. «Είναι οι συντεταγμένες του σημείου M στο επίπεδο», και ο Πέτρος υπόδειξε στο πρώτο τεταρτημόριο αυτό το σημείο. «Δεν μου επαρκούν τα δεδομένα, ώστε να λύσω το πρόβλημα», μετά από σκέψη αποκρίθηκε ο Κώστας.

«Τότε λύσε ένα άλλο πρόβλημα. Στο τρίγωνο A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} ικανοποιείται η ισότητα: A^{\prime}B^{\prime}=pA^{\prime}C^{\prime}+qB^{\prime}C^{\prime}, τα p και q είναι οι συντεταγμένες του σημείου N», και ο Πέτρος υπέδειξε ένα άλλο σημείο στο πρώτο τεταρτημόριο. «Τότε η μικρότερη γωνία, είναι …», είπε ο Κώστας.

Τι μπορεί να ειπωθεί για την θέση των σημείων M και N στο επίπεδο, με την παραδοχή, ότι ο Κώστας και στις δυο περιπτώσεις έλυσε σωστά το πρόβλημα; Ποια γωνία ονόμασε ο Κώστας;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Γεωμετρικοί διάλογοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μάιος 09, 2020 8:57 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 10:57 pm
Ο Πέτρος σχεδίασε στο επίπεδο δυο τρίγωνα, το ABC και A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime. Είπε στον Κώστα: «Στο τρίγωνο ABC ικανοποιείται η εξίσωση:

AB=mAC+nBC.

Ποια γωνία σε αυτό είναι μικρότερη;» «Και τι είναι τα m και n;», ρώτησε ο Κώστας. «Είναι οι συντεταγμένες του σημείου M στο επίπεδο», και ο Πέτρος υπόδειξε στο πρώτο τεταρτημόριο αυτό το σημείο. «Δεν μου επαρκούν τα δεδομένα, ώστε να λύσω το πρόβλημα», μετά από σκέψη αποκρίθηκε ο Κώστας.

«Τότε λύσε ένα άλλο πρόβλημα. Στο τρίγωνο A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} ικανοποιείται η ισότητα: A^{\prime}B^{\prime}=pA^{\prime}C^{\prime}+qB^{\prime}C^{\prime}, τα p και q είναι οι συντεταγμένες του σημείου N», και ο Πέτρος υπέδειξε ένα άλλο σημείο στο πρώτο τεταρτημόριο. «Τότε η μικρότερη γωνία, είναι …», είπε ο Κώστας.

Τι μπορεί να ειπωθεί για την θέση των σημείων M και N στο επίπεδο, με την παραδοχή, ότι ο Κώστας και στις δυο περιπτώσεις έλυσε σωστά το πρόβλημα; Ποια γωνία ονόμασε ο Κώστας;
Αλέξανδρε, "παίζει" κάτι τέτοιο στην απάντηση;

\left ((p>1\wedge 0<q<1) \vee (q>1\wedge 0<p<1)   \right )\wedge p+q>2


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικοί διάλογοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Μάιος 09, 2020 9:26 pm

Ακυρώνω την καταρχάς απάντηση μου με βάση το Θεώρημα MacLauren, αφού το θέμα πάει αλλού.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Σάβ Μάιος 09, 2020 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί διάλογοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μάιος 09, 2020 9:49 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 8:57 pm


Αλέξανδρε, "παίζει" κάτι τέτοιο στην απάντηση;

\left ((p>1\wedge 0<q<1) \vee (q>1\wedge 0<p<1)   \right )\wedge p+q>2
Η απάντηση είναι, την μεταφέρω από το βιβλίο του Τόλπιγκο "Μη στάνταρ προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων" από όπου και την πήρα, γιατί δεν έχω λύσει το πρόβλημα για επαλήθευση:

Ο Κώστας ονόμασε το σημείο C. Το σημείο N στο επίπεδο (m,n) βρίσκεται στο εσωτερικό του μη κυρτού τετράπλευρου PQRS με P(0,0), Q(1,0), R(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), S(0,1) ή στο σύνορό του. Το σημείο M αντίστοιχα εκτός αυτού.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Μάιος 10, 2020 11:42 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Γεωμετρικοί διάλογοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μάιος 10, 2020 8:56 am

Αλέξανδρε, θέλει ψάξιμο!

Η απάντηση ελλιπής μου φαίνεται.

Για παράδειγμα, σε καμμία περίπτωση δεν δείχνει σημείο του χωρίου που ορίζεται από τις ανισότητες x>1 και y>1, αφού από την τριγωνική ανισότητα η πλευρά ΑΒ θα ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών.

Ακόμα, αν έχω π.χ. την ισότητα γ=1,4β+0,7α μπορώ να βρω ότι η πλευρά β είναι μικρότερη από τις άλλες δύο, άρα η γωνία Β είναι η μικρότερη.

Τεσπα! Οψόμεθα!


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί διάλογοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μάιος 10, 2020 11:46 am

rek2 έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 8:56 am
Αλέξανδρε, θέλει ψάξιμο!

Η απάντηση ελλιπής μου φαίνεται.

Για παράδειγμα, σε καμμία περίπτωση δεν δείχνει σημείο του χωρίου που ορίζεται από τις ανισότητες x>1 και y>1, αφού από την τριγωνική ανισότητα η πλευρά ΑΒ θα ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών.

Ακόμα, αν έχω π.χ. την ισότητα γ=1,4β+0,7α μπορώ να βρω ότι η πλευρά β είναι μικρότερη από τις άλλες δύο, άρα η γωνία Β είναι η μικρότερη.

Τεσπα! Οψόμεθα!
Καλημέρα κ.Κώστα,

Νομίζω η απάντηση στο βιβλίο έχει τυπογραφικό και τα χωρία των M και N είναι ανάποδα. Το M βρίσκεται στο εσωτερικό του παραπάνω μη κυρτού τετράπλευρου και το N στο εξωτερικό. Επίσης στην παραπάνω απάντηση έχει γίνει κανονικοποίηση, θεώρηση ότι AB=1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης