Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

KARKAR · #1

: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 1365 φορές

Στις πλευρές a,b,c

του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία A' , B' , C'

αντίστοιχα ,

έτσι ώστε , η AA'

να διέρχεται από το μέσο

της

, η

να διέρχεται από το μέσο

της

και τέλος , η CC'

να διέρχεται από το μέσο

της

. Καλό κουράγιο !

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 7:10 pm
Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.pngΣτις πλευρές του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία αντίστοιχα ,

έτσι ώστε , η να διέρχεται από το μέσο της , η να διέρχεται από το μέσο

της και τέλος , η να διέρχεται από το μέσο της . Καλό κουράγιο !

Καλησπέρα!

Η λύση έχει ανεπαρκή αιτιολόγηση

Με θεώρημα Μενελάου στο ABA'

είναι $\dfrac{AC'}{C'B}=\dfrac{BA'}{A'C}$ και όμοια από τα άλλα τρίγωνα έχουμε
$\dfrac{AC'}{C'B}=\dfrac{BA'}{A'C}=\dfrac{B'C}{B'A}$

Για την ώρα δεν θα ασχοληθώ με το

.

Έστω τρίγωνο ABC

και τμήμα

όπως στο σχήμα.

: 73.PNG (23.94 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές

Για εντοπίσουμε σημείο

στην

ώστε αν $M\equiv BB'\cap AA'$ να είναι

μέσο του

θεωρούμε τα μέσα P,Q

των

και το

είναι η τομή του

με την

.

Τώρα θα βρούμε

τέτοιο ώστε $\dfrac{BA'}{A'C}=\dfrac{B'C}{B'A}$ .

Είναι $\dfrac{B'C}{B'A}=\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{MQ}{PQ-MQ}$

$\dfrac{MQ}{AC}=\dfrac{A'Q}{A'C}=\dfrac{\dfrac{BC}{2}-x}{BC-x}\Leftrightarrow MQ=AC\cdot \dfrac{BC-2x}{2\left ( BC-x \right )}$
Είναι $PQ=\dfrac{AC}{2}$ οπότε:

$\dfrac{MQ}{PQ-MQ}=\dfrac{\dfrac{AC\left ( BC-2x \right ) }{2\left ( BC-x \right )}}{\dfrac{AC}{2}-\dfrac{AC\left ( BC-2x \right ) }{2\left ( BC-x \right )}}=\dfrac{BC-2x}{x}$

Είναι $\dfrac{x}{BC-x}=\dfrac{BC-2x}{x}\Leftrightarrow x^2-3BCx+BC^2=0\Leftrightarrow x=BC\cdot \dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

Παίρνουμε την $x=BC\cdot \dfrac{3- \sqrt{5}}{2}$ (δεν έχει σημασία ποια από τις δύο,το πρόβλημα έχει δύο λύσεις)

Έτσι για τα A',B',C'

θα είναι $BA'=BC\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2},CB'=AC\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2},AC'=AB\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

KARKAR · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 8:50 pm

Έτσι για το θα είναι : $BA'=BC\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

Όπως διαπιστώνουμε όλοι - ο Γ. Βισβίκης το έγραψε κιόλας - πρόκειται για σπουδαίο λύτη

.

Το αποτέλεσμα όμως είναι πειρασμός : Πώς θα κατασκευασθεί το σημείο

;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2019 8:38 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 8:50 pm

Έτσι για το θα είναι : $BA'=BC\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

Όπως διαπιστώνουμε όλοι - ο Γ. Βισβίκης το έγραψε κιόλας - πρόκειται για σπουδαίο λύτη .

Το αποτέλεσμα όμως είναι πειρασμός : Πώς θα κατασκευασθεί το σημείο ;

Καλησπέρα!

Είναι $BA'=BC\cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=BC\left ( 1-\dfrac{1}{\phi } \right )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,A'C=\dfrac{BC}{\phi }$

Παρατηρούμε ότι $\dfrac{BC}{\dfrac{BC}{\phi }}=\dfrac{BC}{\left ( 1-\dfrac{1}{\phi } \right )BC}\Leftrightarrow \phi ^2-\phi -1=0$ που ισχύει .
Έτσι έχουμε(γνωστή διαδικασία):

Αν

το μέσο του

θεωρούμε την τομή του κύκλου (B,BQ)

με την κάθετη της

στο

,έστω

.
Θεωρούμε την τομή του κύκλου (O,OB)

με την

,έστω

και το

είναι η τομή του κύκλου (C,CD)

με την

Απόδειξη εύκολη με δύναμη σημείου σε κύκλο.

: 94.PNG (24.58 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές

KARKAR · #5

Αυτό ακριβώς !

Έχουμε λοιπόν το εξής εκπληκτικό αποτέλεσμα : Χωρίζοντας ομοιόστροφα τις πλευρές BC,CA,AB

με σημεία

αντίστοιχα , σε μέσο και άκρο λόγο , η AA'

διέρχεται από το μέσο της BB'

,

η

διέρχεται από το μέσο της CC'

και τέλος , η CC'

διέρχεται από το μέσο της AA'

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 7:10 pm
Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.pngΣτις πλευρές του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία αντίστοιχα ,

έτσι ώστε , η να διέρχεται από το μέσο της , η να διέρχεται από το μέσο

της και τέλος , η να διέρχεται από το μέσο της . Καλό κουράγιο !

Επανέρχομαι με ελπίζω σωστή λύση:

Φέρουμε τις παράλληλες από τα A,B,C

προς τις

,

αντίστοιχα οι οποίες τέμνουν τις

στα

,

Επειδή

μέσα των

,

οι σημειοσειρές (

,

),(

,

),(

,

) είναι αρμονικές .

Έχουμε :

: Capture1.PNG (11.41 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

Όμοια τα

διαιρούν αρμονικά τα τμήματα

αντίστοιχα.

: Capture.PNG (44.49 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

Υ.Γ Το latex εμφανίζει τα μισά

(αναγκάστηκα να βάλω τις πράξεις σε εικόνα

)

Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Re: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Re: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Re: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Re: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Re: Ακρότητες στην κατασκευή μέσων

Μέλη σε σύνδεση