Έστω το σημείο
, όπου
είναι το έγκεντρο και το περίκεντρο αντιστοίχως, του δοσμένου τριγώνου
.
Αποδεικνύεται
η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ως άσκηση στα αρμονικά συζυγή
ότι ισχύει
και επομένως, έχουμε ότι η ευθεία
εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου
και άρα,
.
Έστω
, το σημείο επαφής του έγκυκλου
του
στην πλευρά
και έστω το σημείο
.
Τα σημεία
, είναι συνευθειακά
γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα
.
Έστω τα σημεία
και
.
Αποδεικνύεται
όχι δύσκολα και θα ακολουθήσει το σχετικό
Λήμμα ότι ισχύει
.
- Περίεργη συντρέχεια.
- f 181_t 64631.PNG (43.88 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές
Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών
του τριγώνου
κάθετες ευθείες, επί των ευθειών των πλευρών
αντιστοίχως, του τριγώνου
, συντρέχουν στο σημείο
και
και
και άρα, τα τρίγωνα
είναι ορθολογικά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες
, ως οι δια των κορυφών
κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών
αντιστοίχως, του τριγώνου
και
λόγω
και
, τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω από αύριο το σχήμα και τις λεπτομέρειες για το
Λήμμα που αναφέρω πιο πάνω και για την
αργότερα, αν δεν απαντηθεί.