Παράκεντρο και διπλάσια γωνία

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Παράκεντρο και διπλάσια γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 11, 2019 4:45 pm

Διπλασιασμός γωνίας.png
Διπλασιασμός γωνίας.png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Στο τρίγωνο ABC έστω J το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat C(παράκεντρο).

Η διάμεσος JM του \vartriangle JBC τέμνει την AC στο S.

Αν AB = AS δείξετε ότι \widehat B = 2\widehat C

Δεκτή κάθε λύση



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3951
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράκεντρο και διπλάσια γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μάιος 13, 2019 10:24 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 4:45 pm
Διπλασιασμός γωνίας.png
Στο τρίγωνο ABC έστω J το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat C(παράκεντρο).Η διάμεσος JM του \vartriangle JBC τέμνει την AC στο S.Αν AB = AS δείξετε ότι \widehat B = 2\widehat C

Δεκτή κάθε λύση
Παράκεντρο και διπλάσια γωνία.png
Παράκεντρο και διπλάσια γωνία.png (33.46 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Έστω K το σημείο τομής της εκ του J παράλληλης προς την BC με την AC , D\equiv BJ\cap AC , AN\bot BS και με AB=AS (υπόθεση) θα είναι και N μέσο της BS και AN και διχοτόμος και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABS .
Έτσι I\equiv BD\cap AN οπότε I προφανώς το έγκεντρο του \vartriangle ABS .
Είναι BM\parallel JK ( από κατασκευής), BN\parallel AJ (κάθετες στην AN (AN,AJ διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών)) και MN\parallel SC (M,N μέσα των πλευρών του τριγώνου \vartriangle SBC ) και με K,A,S,C συνευθειακά θα είναι NM\parallel AK . Έτσι τα τρίγωνα \vartriangle NBM και \vartriangle AJK έχουν παράλληλες πλευρές τους και συνεπώς είναι ομοιόθετα , οπότε NA\cap MK\cap BJ\equiv I (κέντρο ομοιοθεσία τους).
Με M το μέσο της BC και JK\parallel BC προκύπτει ότι η δέσμη J.CMBK είναι αρμονική άρα και η δέσμη \left( C,S,D,K \right) είναι αρμονική όποτε και η δέσμη I.CSDK είναι αρμονική και με M το μέσο της BC προκύπτει ότι IS\parallel BC , άρα \angle ACB\mathop  = \limits^{SI\parallel CB} \angle ASI\mathop  = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,AN} \angle ABI \mathop  = \limits^{BI\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle B} \dfrac{{\angle ABC}}{2} \Rightarrow \boxed{\angle B = 2\left( {\angle C} \right)}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράκεντρο και διπλάσια γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 13, 2019 10:57 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 4:45 pm
Διπλασιασμός γωνίας.png

Στο τρίγωνο ABC έστω J το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat C(παράκεντρο).

Η διάμεσος JM του \vartriangle JBC τέμνει την AC στο S.

Αν AB = AS δείξετε ότι \widehat B = 2\widehat C

Δεκτή κάθε λύση


Έστω BD η διχοτόμος του \vartriangle ABC και I το έγκεντρο αυτού . Η AI είναι ταυτόχρονα κάθετη στις AJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS άρα AJ//BS \Leftrightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,(1).

Φέρνω από το D παράλληλη στην BC που τέμνει τις JM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,JC στα N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T.
Διπλασιασμός γωνίας.png
Διπλασιασμός γωνίας.png (30.98 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Στο τραπέζιο DBCT το N είναι το μέσο της βάσης DT και η τετράδα :

(J,S\backslash N,M) είναι αρμονική . Αλλά και η τετράδα (J,I\backslash D,B) είναι αρμονική συνεπώς : DN//IS//BC . Δηλαδή το τετράπλευρο BCSI είναι τραπέζιο.

Όμως από το εγγράψιμο τετράπλευρο AICJ έχω : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\,(2)

Λόγω της (1) έχω: \boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}}\,\,\, που μας εξασφαλίζει ότι το τραπέζιο BCSI είναι εγγράψιμο άρα ισοσκελές ,

οπότε: \widehat {\dfrac{B}{2}} = \widehat {IBC} = \widehat {SCB} = \widehat C \Rightarrow \widehat B = 2\widehat C.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράκεντρο και διπλάσια γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 13, 2019 5:22 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 4:45 pm
Διπλασιασμός γωνίας.png

Στο τρίγωνο ABC έστω J το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat C(παράκεντρο).

Η διάμεσος JM του \vartriangle JBC τέμνει την AC στο S.

Αν AB = AS δείξετε ότι \widehat B = 2\widehat C

Δεκτή κάθε λύση
Παράκεντρο και διπλάσια γωνία.png
Παράκεντρο και διπλάσια γωνία.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Θεώρημα Μενελάου στο BEC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {MSJ}, \displaystyle \frac{{BM}}{{MC}} \cdot \frac{{SC}}{{SE}} \cdot \frac{{EJ}}{{JB}} = 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{BM = MC} \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{{EJ}}{{JB}} = \frac{{IE}}{{IB}}

(Τα I,J είναι συζυγή αρμονικά των B, E λόγω εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της \widehat C). Αλλά, \displaystyle \frac{{IE}}{{IB}} = \frac{b}{{a + c}}

Άρα, \displaystyle \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{b}{{a + c}} \Leftrightarrow \frac{{c - \frac{{bc}}{{a + c}}}}{{b - c}} = \frac{b}{{a + c}} \Leftrightarrow \boxed{{b^2} = {c^2} + ac \Leftrightarrow \widehat B = 2\widehat C}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης