Παραλληλία στον περίκυκλο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Παραλληλία στον περίκυκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Απρ 28, 2019 8:23 pm

GEOMETRIA228=FB2823b.jpg
GEOMETRIA228=FB2823b.jpg (31.78 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
Εστω τρίγωνο ABC και (w) ο περίκυκλός του.

Κύκλος δια του A τέμνει τις AB, AC και τον (w) στα S, T, X αντίστοιχα

Δεύτερος κύκλος δια του A τέμνει τις AB, AC και τον (w) στα P, Q, Y αντίστοιχα.

Δείξτε ότι XY \parallel BC, τότε και μόνο τότε αν, BS \cdot BP=CQ \cdot CT


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1803
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παραλληλία στον περίκυκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιουν 12, 2019 1:06 pm

sakis1963 έγραψε:
Κυρ Απρ 28, 2019 8:23 pm
GEOMETRIA228=FB2823b.jpg
Εστω τρίγωνο ABC και (w) ο περίκυκλός του.

Κύκλος δια του A τέμνει τις AB, AC και τον (w) στα S, T, X αντίστοιχα

Δεύτερος κύκλος δια του A τέμνει τις AB, AC και τον (w) στα P, Q, Y αντίστοιχα.

Δείξτε ότι XY \parallel BC, τότε και μόνο τότε αν, BS \cdot BP=CQ \cdot CT
Εστω ότι XC//BC
Aπό το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AXST ,\hat{XAS}=\hat{XTS}=\phi ,\hat{AXS}=\hat{STC}=\theta ,
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABXS,\hat{NXB}=\hat{ACB}=\sigma ,
Συνεπώς \hat{XSB}=\hat{XTC}=\theta +\phi ,\hat{XCT}=\hat{XCA}=\sigma -\phi ,
Οπότε τα τρίγωνα XSB,XTC
Είναι όμοια

\dfrac{SB}{TC}=\dfrac{XS}{XT}=\dfrac{XB}{XC},(1)

\hat{YQC}=180-\hat{AQY}=180-\hat{APY}=\hat{BPY}, εφόσον το τετράπλευρο APQY
είναι εγεγραμμένο σε κύκλο , ακόμη \hat{QCY}=\hat{ABY}=\kappa, λογω του εγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCY. Συνεπώς τα τρίγωνα YQC,YBP
είναι όμοια

\dfrac{CQ}{BP}=\dfrac{QY}{PY}=\dfrac{YC}{BY}=\dfrac{XB}{BY},(2),YC=XB\Leftrightarrow BC//XY,

Aπό το ισοσκελές τραπέζιο XYCB,BY=XC, (1),(2)\Rightarrow \dfrac{QC}{BP}=\dfrac{SB}{CT}\Leftrightarrow QC.CT=SB.BP


Γιάννης

Θα συνεχίσω με τη λύση στο αντίστροφο

Αντίστροφο

Ισχύει
\dfrac{BS}{CT}=\dfrac{CQ}{BP},(*),

Τα τρίγωνα XSB,XTC είναι όμοια γιατί \hat{XBS}=\hat{XCT}=\sigma -\phi ,\hat{XSB}=\hat{XTC}=\phi +\theta ,\hat{XAB}=\phi ,\hat{ACB}=\sigma ,\hat{AXS}=\theta

Συνεπώς

\dfrac{XS}{XT}=\dfrac{XB}{XC}=\dfrac{BS}{TC}=\dfrac{CQ}{BP},(1),,λόγω της (*)

Από τα όμοια τρίγωνα

YQC,YBP, \hat{YBP}=\hat{QCY}=\kappa ,\hat{YQC}=\hat{BRY}=180-t,\hat{ACY}=

\kappa ,\hat{AQY}=t, \dfrac{QY}{PY}=\dfrac{YC}{BY}=\dfrac{QY}{BP},(2), 

(1),(2)\Rightarrow \dfrac{XS}{XT}=\dfrac{QY}{YP},(3),

 \hat{PYQ}=\hat{BAC}=\hat{TXS},(4), (3),(4)
συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα

XST,QYP

είναι όμοια και

\hat{XAB}=\hat{CAY}\Leftrightarrow XB=CY\Leftrightarrow 

XY//BC
Συνημμένα
Παραλληλία στον περίκυλο , αντίστροφο.png
Παραλληλία στον περίκυλο , αντίστροφο.png (139.02 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Παραλληλια στον περίκυκλο σχήμα 1 ευθύ.png
Παραλληλια στον περίκυκλο σχήμα 1 ευθύ.png (119.95 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης