Η Γεωμετρία των σταθερών 4

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8076
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η Γεωμετρία των σταθερών 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 28, 2019 11:24 am

Καλό Πάσχα σε όλους!
Η Γεωμετρία των σταθερών.4.png
Η Γεωμετρία των σταθερών.4.png (17.68 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Τυχαίος κύκλος διέρχεται από τις κορυφές B, C τριγώνου ABC και τέμνει τις πλευρές AB, AC στα D, E αντίστοιχα.

Αν οι DE, BC τέμνονται στο K και οι DC, BE στο L, να δείξετε ότι η ευθεία KL διέρχεται από σταθερό σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Απρ 28, 2019 1:38 pm

Ενδιαφέρον... Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: Έστω ένα σταθερό ευθύγραμμο τμήμα BC, και σταθερό σημείο A εκτός αυτού (αν A στην μεσοκάθετο οι ζητούμενες ευθείες συντρέχουν στο άπειρο (i.e. είναι παράλληλες)). Αν AD, AE τα εφαπτόμενα τμήματα σε έναν κύκλο \Gamma που διέρχεται από τα BC τότε να δείξετε ότι (ADE) διέρχεται από σταθερό σημείο. Αυτό όμως είναι προφανές και μπορεί αν οριστεί ως το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της BC με την εκ του A παράλληλη προς την BC.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
min##
Δημοσιεύσεις: 195
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Απρ 28, 2019 6:13 pm

Καλησπέρα και χρόνια πολλά..
Για το πρόβλημα:Αν ορίσουμε το E ως την τομή AC και (BCD),καθώς το D κινείται η DE κρατάει σταθερή διεύθυνση(αντιπαράλληλη της BC).Άρα οι σημειοσειρές D,E διαγράφουν ίσους διπλούς λόγους κι άρα το L κινείται σε κωνική (περιγγεγραμμένη του ABC).Επίσης ίσο διπλό λόγο διαγράφει και το K.Είναι απλό πως όταν το L συμπέσει με τα B,C το K συμπίπτει μαζί του.Έτσι έχουμε μια προβολική συσχέτιση του L στην κωνική του με το K στην ευθεία του που διατηρεί τα σημεία τομής κωνικής και ευθείας.Αν πάρουμε ένα τυχαίο ζεύγος αντίστοιχων L',K' βλέπουμε ότι αναγκαστικά (για να διατηρούνται οι διπλοί λόγοι) αυτή η συσχέτιση είναι προβολή κωνικής σε ευθεία με πόλο την τομή L'K' και κωνικής (διάφορης του L').Έτσι δηλαδή,όλες οι ευθείες LK παιρνούν από σταθερό σημείο της κωνικής.
Η πρόταση του προβλήματος γενικεύεται βέβαια και σε οικογένεια τυχαίων κωνικών:Οι πολικές σημείου ως προς οικογένεια κωνικών περνούν από σταθερό σημείο κλπ.
τελευταία επεξεργασία από min## σε Κυρ Απρ 28, 2019 7:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η Γεωμετρία των σταθερών 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 28, 2019 6:36 pm

Η γεωμετρία των σταθερών_4.png
Η γεωμετρία των σταθερών_4.png (42.5 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Η εφαπτομένη του κύκλου (A,B,C) στο A είναι σταθερή και τέμνει τη σταθερή BC στο T. Το συμμετρικό του A ως προς το T είναι το ζητούμενο σημείο .


Πράγματι :

Επειδή \widehat {AED} = \widehat {CBA} = \widehat {CAT}, προφανώς AT//DE

Η δέσμη : K(KB,KD\backslash KL,KA) αρμονική

Άρα AT = TS


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες