Εμβαδόν ισοπλεύρου

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7973
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 14, 2019 10:35 am

Εμβαδόν ισοπλεύρου.png
Εμβαδόν ισοπλεύρου.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC πλευράς a εγγεγραμμένο σε κύκλο και μια χορδή DE=a του τόξου \overset\frown{BAC}.

Αν (ADC)=k και (ABE)=l, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ισοπλεύρου συναρτήσει των των k,l.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Εμβαδόν ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Απρ 15, 2019 11:24 am

Γιώργο καλημέρα και καλή εβδομάδα,

Οι γωνίες προκύπτουν εύκολα όπου \angle \phi+\angle \theta=60.

\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup BEC\Rightarrow (BEC)=k (μια πλευρά ίση με a και οι προσκείμενες γωνίες \phi, 60+\theta).
Εστω E=(ABC). Εχουμε ότι:

k+l=(ABE)+(BEC)=(ABCE)=E+(AEC)\Rightarrow E=k+l-(AEC)...[1]
(AEC)=x*y*sin(\angle AEC)/2=\dfrac{xy\sqrt{3}}{4}..[2]
l=\dfrac{xu\sqrt{3}}{4}.... [3]
k=\dfrac{yu\sqrt{3}}{4}.... [4]

u=x+y ....[5] από γνωστή σχέση.

Συνδυάζοντας τις [1],...,[5] καταλήγουμε στην ζητούμενη:

E=\dfrac{k^{2}+l^{2}+kl}{k+l}
Συνημμένα
εμβαδο ισοπλευρου.png
εμβαδο ισοπλευρου.png (44.6 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 15, 2019 3:34 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Απρ 14, 2019 10:35 am
Εμβαδόν ισοπλεύρου.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC πλευράς a εγγεγραμμένο σε κύκλο και μια χορδή DE=a του τόξου \overset\frown{BAC}.

Αν (ADC)=k και (ABE)=l, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ισοπλεύρου συναρτήσει των των k,l.

\displaystyle AECD,AEBD,BDEC είναι ισοσκελή τραπέζια και \displaystyle \vartriangle ADC = \vartriangle EBC,\vartriangle AEB = \vartriangle EDB.Άρα, \displaystyle \left( {DECB} \right) = k + l

\displaystyle \frac{l}{k} = \frac{{\left( {DBE} \right)}}{{\left( {EBC} \right)}} = \frac{{DO}}{{OC}} = \frac{x}{y}

Είναι \displaystyle \left( {DEBC} \right) = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = k + l και λύνοντας το σύστημα έχουμε \displaystyle \boxed{{x^2} = \frac{{4{l^2}}}{{\left( {k + l} \right)\sqrt 3 }}},\boxed{{y^2} = \frac{{4{k^2}}}{{\left( {k + l} \right)\sqrt 3 }}}\displaystyle  \Rightarrow xy = \frac{{4kl}}{{\left( {k + l} \right)\sqrt 3 }}

Από ν.συνημιτόνου στο \displaystyle \vartriangle ADB \Rightarrow {a^2} = {x^2} + {y^2} + xy και \displaystyle \boxed{\left( {ABCD} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{k^2} + {l^2} + kl}}{{k + l}}}
εμβαδόν ισοπλεύρου.png
εμβαδόν ισοπλεύρου.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Δευ Απρ 15, 2019 5:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6455
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν ισοπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 15, 2019 4:34 pm

Επειδή DE = a θα είναι \widehat {DCE} = \widehat {BDC} = 60^\circ  \Rightarrow DB//EC άρα το τετράπλευρο DBCE είναι ισοσκελές τραπέζιο, καθώς βεβαίως και το τετράπλευρο ADCE.

Θέτω : DA = EC = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DC = BE = d. Προεκτείνω δε τη EC προς το C κατά τμήμα CS = DB = v.. προφανώς το DBSC είναι παραλληλόγραμμο.

\vartriangle ADC = \vartriangle EBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BDE = \vartriangle SCB ( Από το κριτήριο: (\Pi  - \Pi  - \Pi )) .

Το τρίγωνο EBS είναι ισόπλευρο πλευράς \boxed{d = u + v}\,\,(1)

Τώρα το λογιστικό μέρος:

Από τα τρίγωνα EDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBC από το Θ. συνημίτονου έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  {a^2} = {d^2} + {u^2} - du \hfill \\ 
  {a^2} = {d^2} + {v^2} - dv \hfill \\  
\end{gathered}  \right. προσθέτω κατά μέλη και έχω :

2{a^2} = 2{d^2} + {u^2} + {v^2} - d(u + v) που λόγω της (1) και της ταυτότητας : {u^2} + {v^2} = {(u + v)^2} - 2uv δίδει:

\boxed{{a^2} = {d^2} - uv}\,\,\,(2)
Εμβαδόν ισοπλεύρου.png
Εμβαδόν ισοπλεύρου.png (34.18 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Από τα τρίγωνα EBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBC είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  k = du\frac{{\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ 
  l = dv\frac{{\sqrt 3 }}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  k + l = {d^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ 
  kl = {d^2}uv\frac{3}{{16}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Έτσι θα ισχύουν ταυτόχρονα: \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  k + l = {d^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\,\,(4) \hfill \\ 
  kl = {d^2}uv\frac{3}{{16}}\,\,\,\,(3) \hfill \\ 
  {a^2} = {d^2} - uv\,\,\,\,(2)\,\, \hfill \\ 
  d = u + v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άρα \boxed{{{(k + l)}^2} - kl = \dfrac{3}{{16}}{d^4} - \dfrac{3}{{16}}{d^2}uv = \dfrac{3}{{16}}{d^2}{a^2}} και διαιρώ με k + l , οπότε:


\boxed{\dfrac{{{{(k + l)}^2} - kl}}{{k + l}} = \dfrac{{\dfrac{3}{{16}}{d^2}{a^2}}}{{{d^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}}} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = (ABC)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης