Σε κανονικό επτάγωνο!

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Σε κανονικό επτάγωνο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Απρ 07, 2019 1:20 am

Δίνεται κανονικό επτάγωνο πλευράς \displaystyle{a} και ας είναι \displaystyle{b,c} τα μήκη των διαγωνίων του (\displaystyle{b<c}).

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

\displaystyle{K=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}}

και

\displaystyle{L=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}}.
Συνημμένα
heptagon.png
heptagon.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 07, 2019 10:24 pm

Γεια σου Θάνο, δε ξέρω τι θεωρείται δεδομένο σε αυτό το επίπεδο και τι όχι. Από δω έχουμε τα εξής:


Αν a, b, c είναι η πλευρά του πολυγώνου και b, c οι διαγώνιοι αυτού,τότε:

\displaystyle{\begin{matrix} 
b^2-a^2 &= & ac  && (1) \\  
c^2-b^2 & = &ab && (2) \\  
a^2-c^2 & =  & -bc& &(3) \\ 
\displaystyle \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c} &=  &2 & & (4) 
\end{matrix}}
Η (4) έρχεται από τον τύπο Vieta αφού τα \frac{c}{a} \;, \; \frac{a}{b} \; , \;-\frac{b}{c} είναι ρίζες της εξίσωσης t^3-2t^2-t+1=0. Τότε έχουμε διαδοχικά χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1)\; , \; (2) \; , (3) \; , \; (4) :

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{L} &= \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2} \\  
 &=\frac{b^2-a^2+a^2}{a^2}+ \frac{c^2-b^2+b^2}{b^2}+ \frac{a^2-c^2+c^2}{c^2} \\  
 &=\left ( \frac{b^2-a^2}{a^2} + \frac{a^2}{a^2} \right ) + \left (\frac{c^2-b^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2}  \right ) + \left ( \frac{a^2-c^2}{c^2}+ \frac{c^2}{c^2} \right ) \\  
 &= \left (\frac{ac}{a^2}+ 1   \right ) + \left ( \frac{ab}{b^2} + 1 \right ) + \left ( -\frac{bc}{c^2}+ 1 \right ) \\ 
 &= \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c}+ 3 \\ 
 &=2 + 3 \\ 
 &=5 
\end{aligned}}
Παρόμοια δουλεύουμε και για τη \mathcal{K}. Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{K} &= \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \\  
 &= \left (\frac{ab-bc}{b^2}+1  \right ) + \left ( \frac{ac-bc}{c^2}+1 \right ) + \left ( \frac{ab+ac}{a^2}+1 \right )\\  
 &=\frac{a-c}{b} + \frac{a-b}{c} + \frac{b+c}{a} + 3 \\  
 &= \underbrace{\left ( \frac{a}{b} + \frac{c}{a} - \frac{b}{c} \right )}_{2} + \underbrace{\left ( \frac{b}{a} + \frac{a}{c}- \frac{c}{b} \right ) }_{1}+ 3\\  
 &=6 
\end{aligned}}
Οι τύποι Vieta βρίσκονται εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 08, 2019 10:04 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 07, 2019 10:24 pm

Αν a, b, c είναι η πλευρά του πολυγώνου και b, c οι διαγώνιοι αυτού,τότε:

\displaystyle{\begin{matrix} 
b^2-a^2 &= & ac  && (1) \\  
c^2-b^2 & = &ab && (2) \\  
a^2-c^2 & =  & -bc& &(3) \\ 
\displaystyle \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c} &=  &2 & & (4) 
\end{matrix}}

Να πούμε δυο λόγια για το πώς προέκυψαν οι τρεις πρώτοι τύποι.
7γωνο.png
7γωνο.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Οι δύο πρώτοι βγαίνουν από γνωστή πρόταση που έχει χρησιμοποιηθεί επανειλημμένως στο :logo: : \boxed{\widehat B = 2\widehat A \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + ac}
Εδώ έχουμε \widehat B=2\widehat A και \widehat C=2\widehat B .

Ο τρίτος τύπος προκύπτει από την ισοδυναμία: \boxed{\widehat C = 90^\circ  + \frac{{\widehat A}}{2} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} - cb} έχει αποδειχθεί εδώ (#11,#12, #13)


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 08, 2019 10:20 am

Καλημέρα Γιώργο!

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 10:04 am
Να πούμε δυο λόγια για το πώς προέκυψαν οι τρεις πρώτοι τύποι.

Και από Πτολεμαίο.

ptolemy-heptagon.png
ptolemy-heptagon.png (29.22 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Για παράδειγμα από το τετράπλευρο A'' B' A C' παίρνουμε τη σχέση a^2-c^2=-bc. Όμοια παράγονται και οι άλλες δύο σχέσεις. Το τελευταίο τετράπλευρο μας δίδει μια σημαντική σχέση που ισχύει στο επτάγωνο , γνωστή και ως optic equation ,

\displaystyle{\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης