Διπλάσιο τμήμα !

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Διπλάσιο τμήμα !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pm

Ένα τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι AD ένα από τα ύψη του.

Αν G είναι το βαρύκεντρο του ABC και η ευθεία DG τέμνει τον (C) στο P , να αποδειχθεί ότι GP=2GD.
thmima2019.PNG
thmima2019.PNG (37.21 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 552
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μαρ 31, 2019 8:50 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pm
Ένα τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι AD ένα από τα ύψη του.

Αν G είναι το βαρύκεντρο του ABC και η ευθεία DG τέμνει τον (C) στο P , να αποδειχθεί ότι GP=2GD.

thmima2019.PNG
Δεν είναι άμεσο από την αρνητική ομοιοθεσία κέντρου G που στέλνει τον κύκλο Euler στον περιγεγγραμμένο;


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
AlexNtagkas
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexNtagkas » Κυρ Μαρ 31, 2019 9:19 pm

Προκριματικός μεγάλων 2018 χρειαζόταν αυτό το λήμμα :D


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Απρ 01, 2019 7:06 am

Καλό μήνα σε όλους !

Είστε ...τσακάλια και σας θαυμάζω!

Όντως από τον προκριματικό του 18 απέσπασα το ερώτημα.

Η ομοιοθεσία είναι προφανώς η έμπνευση της άσκησης για τον προκριματικό.Είναι εξαιρετικό Λήμμα. Κάποτε είχαμε αρχίσει να μαζεύουμε χρήσιμα λήμματα, αλλά αυτή τη στιγμή δεν έχω χρόνο να τα αναζητήσω για να το προσθέσω και αυτό.

Ας αναζητήσουμε και μια απόδειξη χωρίς αυτή την εξαιρετική μέθοδο των μετασχηματισμών.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 01, 2019 11:19 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pm
Ένα τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι AD ένα από τα ύψη του.

Αν G είναι το βαρύκεντρο του ABC και η ευθεία DG τέμνει τον (C) στο P , να αποδειχθεί ότι GP=2GD.

thmima2019.PNG
Καλό μήνα!

Αρκεί να δείξω ότι AP||BC. Αντιστρέφω λοιπόν το πρόβλημα και θεωρώ AP||BC και ορίζω το G ως το σημείο

τομής του DP με τη διάμεσο AM. Τώρα, αρκεί να δείξω ότι το G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC.
Διπλάσιο τμήμα.Μπ.png
Διπλάσιο τμήμα.Μπ.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Φέρνω PE \bot BC, κι επειδή το APCB είναι ισοσκελές τραπέζιο, M θα είναι το μέσο του DE. Άρα:

\dfrac{{AG}}{{GM}} = \dfrac{{AP}}{{DM}} = 2 και το ζητούμενο έπεται.


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Απρ 01, 2019 9:39 pm

Το λήμμα αυτό χρησιμοποιείται και για να λύσει το ακόλουθο πρόβλημα από την Shortlist της ΙΜΟ του 2011. (βλέπε πόστ 12 για παράδειγμα)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6560
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσιο τμήμα !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 13, 2019 7:03 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pm
Ένα τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι AD ένα από τα ύψη του.

Αν G είναι το βαρύκεντρο του ABC και η ευθεία DG τέμνει τον (C) στο P , να αποδειχθεί ότι GP=2GD.

thmima2019.PNG
Διπλάσιο τμήμα_Στεργίου_1.png
Διπλάσιο τμήμα_Στεργίου_1.png (24.39 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
Αγνοώ προσωρινά το τμήμα \overline {DGP} . Ας είναι T το άλλο σημείο τομής της AD με το κύκλο και M το μέσο του BC.

Η OG τέμνει το ύψος AD στο ορθόκεντρο H, του \vartriangle ABC, και έτσι έχω ταυτόχρονα:

HG = 2GO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HD = DT. Φέρνω τη διάμετρο \overline {TOS} και άρα στο \vartriangle HTS το G

είναι κι εδώ βαρύκεντρο , άρα η SD διέρχεται από το G και προφανώς S \equiv P με

SG = 2GD \Leftrightarrow PG = 2GD


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης