Σελίδα 1 από 1

Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm
από george visvikis
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 14, 2019 8:53 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
george visvikis έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.
Ωραίο πρόβλημα Γιώργο :coolspeak:

Θα το αφήσω για σήμερα να το δουν και άλλοι και θα επανέλθω αύριο με μια εύκολη (σχεδόν στοιχειώδη λύση)
Βλέπω το κοιτάζει και ο Σιλουανός (Ξέρεις πως βλέπει αυτός!!!!!!!! τη συμμετροδιάμεσο !!!!!!! :shock: )

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 14, 2019 11:56 pm
από gavrilos
Καλησπέρα.

Μια όχι στοιχειώδης λύση.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] 
\clip(-6,-3.) rectangle (7.,6.); 
\draw [line width=0.8pt] (0.,0.) circle (2.4cm); 
\draw [line width=0.8pt] (4.,0.) circle (1.6cm); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (5.97764299244939,0.29820830708721546); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (2.625,1.4523687548277813); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,-1.4523687548277815)-- (2.625,4.3774388519200045); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,4.3774388519200045)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,4.3774388519200045)-- (-1.174724549812082,2.7604387752799013); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (5.97764299244939,0.29820830708721546); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.988363397057662,0.26397766406646617)-- (4.824989637861568,-0.8373841242302758); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (-2.742615609512974,1.215754752594361); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-2.742615609512974,1.215754752594361)-- (-1.174724549812082,2.7604387752799013); 
\draw [line width=0.8pt] (-2.742615609512974,1.215754752594361)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (3.672336283273748,-1.9729765555477687); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (1.4379993570962422,5.334490620093502); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,1.4523687548277813)-- (1.4379993570962422,5.334490620093502); 
\begin{scriptsize} 
\draw [fill=black] (2.625,1.4523687548277813) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (2.25,1.3043959247481673) node {A}; 
\draw [fill=black] (2.625,-1.4523687548277815) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (2.3,-1.55) node {B}; 
\draw [fill=black] (2.625,4.3774388519200045) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (2.7765559004521285,4.6714788784559165) node {P}; 
\draw [fill=black] (2.988363397057662,0.26397766406646617) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (3.2,0.5697596439392039) node {D}; 
\draw [fill=black] (-1.174724549812082,2.7604387752799013) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (-1.2027239539297565,3.2226128801937937) node {C}; 
\draw [fill=black] (3.672336283273748,-1.9729765555477687) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (3.674444688107528,-2.2463460991618227) node {F}; 
\draw [fill=black] (5.97764299244939,0.29820830708721546) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (6.123232290804072,0.5901662072950085) node {E}; 
\draw [fill=black] (4.824989637861568,-0.8373841242302758) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (5.184530376437063,-0.8) node {M}; 
\draw [fill=black] (-2.742615609512974,1.215754752594361) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (-2.9985015292405555,1.5492746850178216) node {G}; 
\draw [fill=black] (1.4379993570962422,5.334490620093502) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color:black"> (1.5725686624596606,5.630587356178729) node {Q}; 
\end{scriptsize} 
\end{tikzpicture}

Έστω G το σημείο τομής της BF με τον (O) και Q το σημείο τομής των AF,GC.Το τετράπλευρο ACBD είναι αρμονικό αφού οι εφαπτομένες στα C,D τέμνονται πάνω στη διαγώνιο AB.Επομένως η δέσμη (GB,GA/GD,DC) είναι αρμονική,οπότε τα σημεία F,A είναι συζυγή αρμονικά των D,Q.Έπεται ότι η δέσμη (CF,CA/CD,CQ) είναι αρμονική.Όμως,όπως εύκολα μπορούμε να δούμε (είναι και άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου) ισχύει FE\parallel CQ οπότε,από γνωστό θεώρημα,το M είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος FE.

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 15, 2019 12:33 am
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
george visvikis έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.
Διαφορετικά ...

Αν N είναι το μέσο της CD τότε BAP η συμμετροδιάμεσος του \vartriangle BCD (γνωστή πρόταση). Από εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει εύκολα (γωνιακά η ομοιότητα των τριγώνων \vartriangle BFE και \vartriangle CDB με ομόλογες (λόγω της ισότητας των γωνιών \angle EBM,\angle CBM αντίστοιχα ) τις BM,BN και με BN τη διάμεσο του \vartriangle CDB θα είναι και BM διάμεσος του \vartriangle BFE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 2:21 am
από Doloros
Έστω ότι η CB τέμνει το κύκλο (K) στο Z. Η πολική του P, στον κύκλο (O), τέμνει την AB στο S και την ευθεία της διακέντρου στο T.

Τότε η πολική του T θα είναι η AB και συνεπώς στο \vartriangle ABC η CS είναι συμμετροδιάμεσος

οπότε θα διέρχεται από το μέσο N της EZπου είναι αντιπαράλληλης της AB.

Αλλά η ZF//CM άρα το M μέσο της EF.

Η παραλληλία των ZF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM προκύπτει με απλό κυνήγι γωνιών:
Διέρχεται απο το μέσο της χοεδής _Bisbik.png
Διέρχεται απο το μέσο της χοεδής _Bisbik.png (51.04 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_7}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_5}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_5}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \Rightarrow ZF//NM