Ομοκυκλικότητες

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1364
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ομοκυκλικότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μαρ 04, 2019 8:01 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC για το οποίο υπάρχουν σημεία D και E των πλευρών AC και AB αντίστοιχα, ώστε CD+BE=2 BC. Έστω P το σημείο τομής των τμημάτων BD και CE και Q το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων CDP και BEP. Να αποδείξετε, ότι το σημείο Q, τα μέσα των τμημάτων BE, CD και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοκυκλικότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 05, 2019 12:00 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 8:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC για το οποίο υπάρχουν σημεία D και E των πλευρών AC και AB αντίστοιχα, ώστε CD+BE=2 BC. Έστω P το σημείο τομής των τμημάτων BD και CE και Q το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων CDP και BEP. Να αποδείξετε, ότι το σημείο Q, τα μέσα των τμημάτων BE, CD και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, είναι ομοκυκλικά.
Μου άρεσε πολύ αυτή η πρόταση Αλέξανδρε! . Έχω βρει μια ("όμορφη") λύση με στοιχειώδη μέσα. Θα την αφήσω (επειδή είναι σχετικά "φρέσκια") να την δουν και άλλοι φίλοι και συνάδελφοι και θα επανέλθω αύριο το βραδάκι αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ομοκυκλικότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Μαρ 05, 2019 10:27 pm

Έστω K και L τα μέσα των BE και CD αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, K, I, L είναι ομοκυκλικά (I είναι το έγκεντρο).

Αφού CD+BE=2BC, ισχύει ότι CL+BK=BC.

Άρα υπάρχει σημείο N στην BC, ώστε BK=BN και CL=CN.

Από τα ισοσκελή τρίγωνα KBN και LCN, έχουμε πως οι διχοτόμοι BI και CI είναι και μεσοκάθετοι των KN και LN αντίστοιχα.

Άρα το I είναι το περίκεντρο του τριγώνου KNL, δηλαδή ανήκει και στην μεσοκάθετο του KL.

Αφού το I ανήκει και στην διχοτόμο της \widehat{KAL}, ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του AKL (θεώρημα νότιου πόλου).

Θα δείξουμε τώρα ότι τα A, K, Q, L είναι ομοκυκλικά.

Παρατηρούμε ότι το Q αποτελεί το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου AEPD.BC, άρα από αυτό διέρχονται οι κύκλοι (ADB) και (AEC).

Έχουμε λοιπόν ότι \widehat{QDC}=\widehat{ABQ} και \widehat{QEB}=\widehat{ACQ}.

Συνεπώς τα τρίγωνα EQB και DQC είναι όμοια, οπότε τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαμέσους τους είναι επίσης όμοια.

Με άλλα λόγια τα τρίγωνα KQB και LQD είναι όμοια, δηλαδή \widehat{QKB}=\widehat{QLD}, οπότε πράγματι το AKQL είναι εγγράψιμο.

Επομένως τα K, Q, I, L είναι συνευθειακά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοκυκλικότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 05, 2019 10:40 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 10:27 pm
Έστω K και L τα μέσα των BE και CD αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, K, I, L είναι ομοκυκλικά (I είναι το έγκεντρο).

Αφού CD+BE=2BC, ισχύει ότι CL+BK=BC.

Άρα υπάρχει σημείο N στην BC, ώστε BK=BN και CL=CN.

Από τα ισοσκελή τρίγωνα KBN και LCN, έχουμε πως οι διχοτόμοι BI και CI είναι και μεσοκάθετοι των KN και LN αντίστοιχα.

Άρα το I είναι το περίκεντρο του τριγώνου KNL, δηλαδή ανήκει και στην μεσοκάθετο του KL.

Αφού το I ανήκει και στην διχοτόμο της \widehat{KAL}, ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του AKL (θεώρημα νότιου πόλου).

Θα δείξουμε τώρα ότι τα A, K, Q, L είναι ομοκυκλικά.

Παρατηρούμε ότι το Q αποτελεί το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου AEPD.BC, άρα από αυτό διέρχονται οι κύκλοι (ADB) και (AEC).

Έχουμε λοιπόν ότι \widehat{QDC}=\widehat{ABQ} και \widehat{QEB}=\widehat{ACQ}.

Συνεπώς τα τρίγωνα EQB και DQC είναι όμοια, οπότε τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαμέσους τους είναι επίσης όμοια.

Με άλλα λόγια τα τρίγωνα KQB και LQD είναι όμοια, δηλαδή \widehat{QKB}=\widehat{QLD}, οπότε πράγματι το AKQL είναι εγγράψιμο.

Επομένως τα K, Q, I, L είναι συνευθειακά.
:coolspeak:

Η λύση μου ελάχιστα διαφέρει από του Διονύση και ίσως θα είναι περιττό να γραφεί. Μπράβο μεγάλε Διονύση!

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1364
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ομοκυκλικότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Μαρ 06, 2019 9:48 am

Το πρόβλημα το κατασκεύασα (όχι ότι έκανα και πολλά) βασιζόμενως ακριβώς σε αυτά που περιγράφει ο Διονύσης στην λύση του. Αφορμή ήταν το θέμα 8 εδώ, κεντρική ιδέα το σημείο Miquel και η βοήθεια του λήμματος εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης