Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

#1

: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές

Το

είναι αμβλυγώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές c, b, a

είναι ακέραιοι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου με διαφορά w=2.

Στις κορυφές B, C

φέρνουμε τις εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου του κύκλου που τέμνονται στο

Α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος AS=x

συναρτήσει της πλευράς

.

Β) Βρείτε την αριθμητική τιμή του

αν το

είναι το "μικρότερο" δυνατό τρίγωνο που τηρεί τις παραπάνω προϋποθέσεις.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!
a,b,c

διαδοχικοί αριθμητικής προόδου και πρέπει να ισχύει και η τριγωνική ανισότητα
b=c+2,a=c+4

,

άρα

.Για

είναι

Mε νόμο συνημιτόνων στο ABC

$AB^2=AC^2+BC^2-2\cos\widehat{BCA}\cdot AC\cdot BC\Leftrightarrow 9=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cos\widehat{BCA}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \cos\widehat{BCA}=\dfrac{11}{14}$

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot \cos\widehat{CBA}\cdot AB\cdot BC\Leftrightarrow 25=49+9-2\cdot 7\cdot 3\cos\widehat{CBA}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \cos\widehat{CBA}=\dfrac{13}{14}$

Είναι $\widehat{ACS}=\widehat{CBA}$ ως γωνία εφαπτομένης και γωνία τόξου αντίστοιχης χορδής.
Για τον ίδιο λόγο $\widehat{ABS}=\widehat{BCA}$
Mε νόμο συνημιτόνων στα ABS

,

:

$\left\{\begin{matrix} & x^2=CS^2+AC^2-2\cdot \cos\widehat{ACS}\cdot CS\cdot AC & \\ & x^2=BS^2+AB^2-2\cdot \cos\widehat{ABS}\cdot AB\cdot BS & \end{matrix}\right.\overset{BS=CS\,\,\varepsilon \sigma \tau \omega \,\,BS=y}{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix} &x^2=y^2+25-2\cdot \dfrac{11}{14}\cdot 5y & \\ \\ &x^2=y^2+9-2\cdot \dfrac{13}{14}\cdot 3y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow... 25-\dfrac{11}{7}5y=9-\dfrac{13}{7}3y\Leftrightarrow 16=y\left ( \dfrac{11\cdot 5-13\cdot 3}{7} \right )=\dfrac{y\cdot 16}{7}\Leftrightarrow y=7$

Άρα με αντικατάσταση

$x^2=y^2+9-2\cdot \dfrac{13}{14}3y=49+9-39=19\Leftrightarrow x=\sqrt{19}$

#3

Επειδή

θετικός ακέραιος ενώ $a = b + 2\,\,,\,\,c = b - 2$ και $A > 90^\circ$ θα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} a < b + c \hfill \\ {a^2} > {b^2} + {c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} b + 2 < b + b - 2 \hfill \\ {(b + 2)^2} > {b^2} + {(b - 2)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4 < b \hfill \\ b < 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b \in \{ 5,6,7\}$

Έστω SB = SC = y

. Από θεώρημα συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω:

: Καλή πρόοδο με αμβλύγώνιο.png (26.75 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

$\left\{ \begin{gathered} u = \cos \theta = \frac{{b + 8}}{{2(b + 2)}}\,\,\,\,(1) \hfill \\ v = \cos \omega = \frac{{{b^2} + 8}}{{2({b^2} - 4)}}\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Από το ίδιο θεώρημα στα $\vartriangle ABS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ACS$ έχω ΅

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} = {c^2} + {y^2} - 2cyu\,\,\,(3) \hfill \\ {x^2} = {b^2} + {y^2} - 2byv\,\,\,(4) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη και προκύπτει πρώτου βαθμού εξίσωση ως προς

Και δίδει : $\boxed{y = \frac{{{b^2} - 4}}{{8 - b}}}$ που αν αντικαταστήσω σε μια από τις $(3)\,\,$ ή (4)

έχω:

$\boxed{x = \sqrt {3{b^2} - 12b + 4} \left( {\frac{{b - 2}}{{8 - b}}} \right)}$

Στην ειδική περίπτωση που b = 5

έχω $\boxed{x = \sqrt {19} }$ τότε το τρίγωνο SBC

είναι ισόπλευρο.

#4

Κατ' αρχάς να ευχαριστήσω τον Πρόδρομο και τον Νίκο για τις λύσεις τους.

Αν φαίνεται ότι ο Πρόδρομος απάντησε μόνο στο β) ερώτημα, το λάθος είναι αποκλειστικά δικό μου. Ο Πρόδρομος απάντησε

απλώς στην αρχική άσκηση. Στην πορεία αποφάσισα να την γενικεύσω και να την σπάσω σε δύο ερωτήματα. Ο Πρόδρομος όμως,

που είναι γρήγορο πιστόλι, την είχε ήδη λύσει. Γι' αυτό καλό είναι να απαντούμε με παράθεση (να φαίνεται στη λύση μας η

εκφώνηση) ώστε να μην χρεωνόμαστε τα λάθη ή τις προσθήκες του θεματοδότη. Ο Πρόδρομος βέβαια, λόγω σεμνότητας, δεν είπε
τίποτα. Εγώ όμως έπρεπε να το διευκρινίσω προς αποκατάσταση της αλήθειας.Τα του Καίσαρος τω Καίσαρι

Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Μέλη σε σύνδεση