Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:01 pm

Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο.png
Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Το ABC είναι αμβλυγώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές c, b, a είναι ακέραιοι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου με διαφορά w=2. Στις κορυφές B, C φέρνουμε τις εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου του κύκλου που τέμνονται στο S.

Α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος AS=x συναρτήσει της πλευράς b.

Β) Βρείτε την αριθμητική τιμή του x αν το ABC είναι το "μικρότερο" δυνατό τρίγωνο που τηρεί τις παραπάνω προϋποθέσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:42 pm

Καλησπέρα!
a,b,c διαδοχικοί αριθμητικής προόδου και πρέπει να ισχύει και η τριγωνική ανισότητα
b=c+2,a=c+4, c+4<c+c+2 άρα c>2 .Για  c=3 είναι  b=5,a=7

Mε νόμο συνημιτόνων στο ABC
  • AB^2=AC^2+BC^2-2\cos\widehat{BCA}\cdot AC\cdot BC\Leftrightarrow 9=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cos\widehat{BCA}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \cos\widehat{BCA}=\dfrac{11}{14}
  • AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot \cos\widehat{CBA}\cdot AB\cdot BC\Leftrightarrow 25=49+9-2\cdot 7\cdot 3\cos\widehat{CBA}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \cos\widehat{CBA}=\dfrac{13}{14}
Είναι \widehat{ACS}=\widehat{CBA} ως γωνία εφαπτομένης και γωνία τόξου αντίστοιχης χορδής.
Για τον ίδιο λόγο \widehat{ABS}=\widehat{BCA}
Mε νόμο συνημιτόνων στα ABS ,ACS :

\left\{\begin{matrix} & x^2=CS^2+AC^2-2\cdot \cos\widehat{ACS}\cdot CS\cdot AC & \\ & x^2=BS^2+AB^2-2\cdot \cos\widehat{ABS}\cdot AB\cdot BS & \end{matrix}\right.\overset{BS=CS\,\,\varepsilon \sigma \tau \omega \,\,BS=y}{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix} &x^2=y^2+25-2\cdot \dfrac{11}{14}\cdot 5y & \\ \\ &x^2=y^2+9-2\cdot \dfrac{13}{14}\cdot 3y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow... 25-\dfrac{11}{7}5y=9-\dfrac{13}{7}3y\Leftrightarrow 16=y\left ( \dfrac{11\cdot 5-13\cdot 3}{7} \right )=\dfrac{y\cdot 16}{7}\Leftrightarrow y=7

Άρα με αντικατάσταση

x^2=y^2+9-2\cdot \dfrac{13}{14}3y=49+9-39=19\Leftrightarrow x=\sqrt{19}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 17, 2019 12:04 am

Επειδή b θετικός ακέραιος ενώ a = b + 2\,\,,\,\,c = b - 2 και A > 90^\circ θα έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  a < b + c \hfill \\ 
  {a^2} > {b^2} + {c^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  b + 2 < b + b - 2 \hfill \\ 
  {(b + 2)^2} > {b^2} + {(b - 2)^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  4 < b \hfill \\ 
  b < 8 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow b \in \{ 5,6,7\}

Έστω SB = SC = y . Από θεώρημα συνημίτονου στο \vartriangle ABC έχω:
Καλή πρόοδο με αμβλύγώνιο.png
Καλή πρόοδο με αμβλύγώνιο.png (26.75 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  u = \cos \theta  = \frac{{b + 8}}{{2(b + 2)}}\,\,\,\,(1) \hfill \\ 
  v = \cos \omega  = \frac{{{b^2} + 8}}{{2({b^2} - 4)}}\,\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Από το ίδιο θεώρημα στα \vartriangle ABS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ACS έχω ΅

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {c^2} + {y^2} - 2cyu\,\,\,(3) \hfill \\ 
  {x^2} = {b^2} + {y^2} - 2byv\,\,\,(4) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη και προκύπτει πρώτου βαθμού εξίσωση ως προς y

Και δίδει : \boxed{y = \frac{{{b^2} - 4}}{{8 - b}}} που αν αντικαταστήσω σε μια από τις (3)\,\,ή (4) έχω:


\boxed{x = \sqrt {3{b^2} - 12b + 4} \left( {\frac{{b - 2}}{{8 - b}}} \right)}

Στην ειδική περίπτωση που b = 5 έχω \boxed{x = \sqrt {19} } τότε το τρίγωνο SBC είναι ισόπλευρο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 17, 2019 8:52 am

Κατ' αρχάς να ευχαριστήσω τον Πρόδρομο και τον Νίκο για τις λύσεις τους.

Αν φαίνεται ότι ο Πρόδρομος απάντησε μόνο στο β) ερώτημα, το λάθος είναι αποκλειστικά δικό μου. Ο Πρόδρομος απάντησε

απλώς στην αρχική άσκηση. Στην πορεία αποφάσισα να την γενικεύσω και να την σπάσω σε δύο ερωτήματα. Ο Πρόδρομος όμως,

που είναι γρήγορο πιστόλι, την είχε ήδη λύσει. Γι' αυτό καλό είναι να απαντούμε με παράθεση (να φαίνεται στη λύση μας η

εκφώνηση) ώστε να μην χρεωνόμαστε τα λάθη ή τις προσθήκες του θεματοδότη. Ο Πρόδρομος βέβαια, λόγω σεμνότητας, δεν είπε
τίποτα. Εγώ όμως έπρεπε να το διευκρινίσω προς αποκατάσταση της αλήθειας.Τα του Καίσαρος τω Καίσαρι :oops:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης