Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με και ας είναι και το ύψος του. Έστω το σημείο , όπου είναι το μέσον του και ας είναι , η προβολή του σημείου επί του . Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
Κώστας Βήττας.
- Συνημμένα
-
- Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
- f 181_t 63606.PNG (13 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Ας είναι η αρχή ορθογωνίων συντεταγμένων με μοναδιαίο του κατακόρυφου άξονα το .
Συνεπώς και αν θα ισχύει :
( συνθήκη καθετότητας των )
Η ευθεία ενώ η και από το σύστημά τους
έχω άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι
ενώ της είναι
Το σημείο είναι η τομή των :
.
Τώρα ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι και της
είναι: άρα
Επειδή δεν υπάρχει καμπύλη στο πρόβλημα , έχω να λύσω μόνο γραμμικά συστήματα και επομένως οι πράξεις είναι σίγουρο ότι θα δώσουν "εύκολα" και σίγουρα αποτελέσματα .Αν δε λάβουμε υπ όψιν ότι τα λογισμικά δίδουν ακαριαίες λύσεις είναι προφανές ότι δεν "κουράστηκα"
Συνεπώς και αν θα ισχύει :
( συνθήκη καθετότητας των )
Η ευθεία ενώ η και από το σύστημά τους
έχω άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι
ενώ της είναι
Το σημείο είναι η τομή των :
.
Τώρα ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι και της
είναι: άρα
Επειδή δεν υπάρχει καμπύλη στο πρόβλημα , έχω να λύσω μόνο γραμμικά συστήματα και επομένως οι πράξεις είναι σίγουρο ότι θα δώσουν "εύκολα" και σίγουρα αποτελέσματα .Αν δε λάβουμε υπ όψιν ότι τα λογισμικά δίδουν ακαριαίες λύσεις είναι προφανές ότι δεν "κουράστηκα"
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Καλήν εσπέρα άρχοντες και καλή σας χρονιά!!!. Ας δούμε μια διαφορετική προσέγγιση από αυτή του Νίκου στην όμορφη πρόταση του Κώστα
Έστω και ας είναι . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου (αφού ) και η είναι η ευθεία Gauss του πλήρους τετραπλεύρου (με τα μέσα των διαγωνίων του ) και συνεπώς το μέσο της (δηλαδή το κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου ). Με τη σειρά αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) θα είναι και η δέσμη αρμονική και με θα είναι διχοτόμος της (συμπληρώματα ίσων γωνιών) και με
ομοκυκλικά , άρα και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Με εκτίμηση
Στάθης
Υ.Σ. το ότι προκύπτει συντομότερα από την αρμονική δέσμη και ότι το μέσο της
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Καλησπέρα σε όλους!
Έστω η προβολή του στην και το συμμετρικό του ως προς Τότε το είναι παραλληλόγραμμο
και
Το είναι εγγράψιμο, άρα η εφάπτεται στον περίκυκλο
του αλλά και του οπότε το είναι σημείο του κύκλου διαμέτρου και το ζητούμενο έπεται.
Re: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Μετά από καιρό είδαμε με χαρά τον Στάθη στο με μια ωραία λύση με τα γνωστά του "υψηλής ραπτικής" εργαλεία .
Βλέπω όμως και μια εκπληκτικά απλή με "αγνά υλικά" του Γιώργου του Βισβίκη .
Προφανώς τις χειροκροτώ αμφότερες
Βλέπω όμως και μια εκπληκτικά απλή με "αγνά υλικά" του Γιώργου του Βισβίκη .
Προφανώς τις χειροκροτώ αμφότερες
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες