Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#1

Έστω ρόμβος $\displaystyle{ABCD}$ και $\displaystyle{(\ell )}$ η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αυτή τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB,BC}$ στα σημεία $\displaystyle{E,F,}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $\displaystyle{AE\cdot CF}$ είναι ανεξάρτητο από την $\displaystyle{(\ell ).}$

#2

Ας είναι

το σημείο επαφής στην

Από Brianchon οι AC, LF, ED

συντρέχουν, έστω στο

. Φανερά από τις παραλληλίες είναι:

$\dfrac{AE}{DC} = \dfrac{AI}{IC}$

$\dfrac{FC}{AL} = \dfrac{CI}{AI}$

Πολλαπλασιάζουμε, τελειώσαμε.

#3

Απομονώνω το σχήμα.

: Ρόμβος και....png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 1200 φορές

$\displaystyle \frac{{AE}}{{OC}} = \frac{{OA}}{{CF}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{OA = OC} AE \cdot CF = O{A^2}$

#4

Καλές γιορτές με υγεία και χαρά στις οικογένειές σας για το 2019.

Το έχουμε ξαναδεί Εδώ, ως Λήμμα για την πρωτοεμφανισθείσα (;) απόδειξη του Θεωρήματος Newton (b).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".

#5

vittasko έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".

Κώστα, εύχομαι καλή χρονιά σε σένα και στην οικογένεια!

Το παραπάνω θέμα είναι το δεύτερο πρόβλημα του διαγωνισμού Tuymaada Olympiad του έτους 2000.
Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν εδώ.

S.E.Louridas · #6

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά και Καλά στην εκλεκτή παρέα.

Έστω

το κέντρο του εγγεγραμμένου μας κύκλου. Αν θεωρήσουμε το συμμετρικό

του

ως προς την

, τότε εύκολα παίρνουμε AE=CT

και $\angle CKT = \angle KFC = \frac{1}{2}\angle EFC.$ Άρα η

είναι εφαπτόμενη του περιεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο FKT.

Έτσι έχουμε: $AE \cdot CF = CT \cdot CF = K{C^2},\;ct.$

(*)

vittasko έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am
"Nothing is new under the Geometry sun".

Η ζεστασία του "Γεωμετρικού" ήλιου Κώστα ήταν είναι και θα είναι μοναδική, απολύτως αναγκαία, αναλλοίωτη και αναντικατάστατη, και σίγουρα είναι και αθάνατη,..., ακόμη και για εκείνους που είναι ενάντια στην "ηλιοθεραπεία", αφού σε αυτό συνηγορεί ο ίδιος Θεός, καθότι:...Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωμετρεί).

Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Μέλη σε σύνδεση