Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6165
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Δεκ 29, 2018 2:10 pm

Έστω ρόμβος \displaystyle{ABCD} και \displaystyle{(\ell )} η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αυτή τέμνει τις πλευρές \displaystyle{AB,BC} στα σημεία \displaystyle{E,F,} αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο \displaystyle{AE\cdot CF} είναι ανεξάρτητο από την \displaystyle{(\ell ).}
Συνημμένα
rhombus.png
rhombus.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Δεκ 29, 2018 3:40 pm

Ας είναι L το σημείο επαφής στην AD

Από Brianchon οι AC, LF, ED συντρέχουν, έστω στο I. Φανερά από τις παραλληλίες είναι:

\dfrac{AE}{DC} = \dfrac{AI}{IC}

\dfrac{FC}{AL} = \dfrac{CI}{AI}

Πολλαπλασιάζουμε, τελειώσαμε.:-)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7973
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:38 am

Απομονώνω το σχήμα.
Ρόμβος και....png
Ρόμβος και....png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
\displaystyle \frac{{AE}}{{OC}} = \frac{{OA}}{{CF}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{OA = OC} AE \cdot CF = O{A^2}


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2023
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am

Καλές γιορτές με υγεία και χαρά στις οικογένειές σας για το 2019.

Το έχουμε ξαναδεί Εδώ, ως Λήμμα για την πρωτοεμφανισθείσα (;) απόδειξη του Θεωρήματος Newton (b).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6165
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Δεκ 30, 2018 7:48 pm

vittasko έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".
Κώστα, εύχομαι καλή χρονιά σε σένα και στην οικογένεια!

Το παραπάνω θέμα είναι το δεύτερο πρόβλημα του διαγωνισμού Tuymaada Olympiad του έτους 2000.
Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν εδώ.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5317
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Δεκ 31, 2018 9:24 am

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά και Καλά στην εκλεκτή παρέα.

Έστω K το κέντρο του εγγεγραμμένου μας κύκλου. Αν θεωρήσουμε το συμμετρικό T του E ως προς την BK, τότε εύκολα παίρνουμε AE=CT και \angle CKT = \angle KFC = \frac{1}{2}\angle EFC. Άρα η CK είναι εφαπτόμενη του περιεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο FKT.
Έτσι έχουμε: AE \cdot CF = CT \cdot CF = K{C^2},\;ct.


(*)
vittasko έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am
"Nothing is new under the Geometry sun".
Η ζεστασία του "Γεωμετρικού" ήλιου Κώστα ήταν είναι και θα είναι μοναδική, απολύτως αναγκαία, αναλλοίωτη και αναντικατάστατη, και σίγουρα είναι και αθάνατη,..., ακόμη και για εκείνους που είναι ενάντια στην "ηλιοθεραπεία", αφού σε αυτό συνηγορεί ο ίδιος Θεός, καθότι:...Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωμετρεί).


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης