Ομοκυκλικά

[JimNt.]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω τα ύψη από τις κορυφές .

Έστω πως η τέμνει την στο .

Έστω ότι η τέμνει τον κύκλο στο .

Θα αποδείξουμε πως το ορίζεται ως η τομή των και .

Πράγματι:

Θεωρούμε αντιστροφή με πόλο το και δύναμη .

Αρκεί να αποδειχθεί πως τα είναι αντίστροφα σε αυτή την αντιστροφή.

Τα είναι αντίστροφα, όπως και τα . Ακόμη εύκολα προκύπτει πως τα είναι αντίστροφα.

Η ευθεία πάει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , οπότε το πάει στο .

Το ανήκει στον , αφού, .

Ο τελευταίος κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε το πηγαίνει στο .

Συνοψίζοντας, ο κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε η τομή αυτής της ευθείας με το αντίστροφο της , δηλαδή με τον , είναι το αντίστροφο του .

Συνεπώς το είναι το αντίστροφο του .

[Ορέστης Λιγνός]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Καλησπέρα.

Χρησιμοποιώ ίδια κατασκευή με αυτή του Διονύση, ωστόσο με διαφορετική απόδειξη.

Έστω λοιπόν και . Έστω ότι ο κύκλος με διάμετρο τέμνει την σε σημείο έστω . Τότε, το σημείο , είναι το ζητούμενο.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο (μιας και ) και το εγγεγραμμένο , προκύπτει εγγράψιμο, οπότε (1).

Ακόμη, αφού , το είναι εγγράψιμο, συνεπώς (2).

Επίσης, εγγράψιμο, οπότε (3).

Από (1), (2), (3), εγγράψιμο, άρα (αφού , το είναι εγγράψιμο).

Τελικά, εγγράψιμο, και τελειώσαμε.

KYKLIKA.png (38.69 KiB) Προβλήθηκε 1253 φορές

[harrisp]

Καλησπέρα σε όλους !

Το σημείο αυτό, ανεξάρτητα από το αν η ευθεία είναι διάμεσος, είναι το σημείο επαφής με την κύκλου που περνά απο τα και εφάπτεται σε αυτή. Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία εκτός των δύο αυτών σημείων.

Έχω μια απλή στο μυαλό μου θα περιμένω και για άλλες απαντήσεις.

[KARKAR]

Καλησπέρα σε όλους !

Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία

εκτός των δύο αυτών σημείων .

Επαφή.png (21.71 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές

[Doloros]

Πρόβλημα ΣΣΕ κατά KARKAR.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 1204 φορές

Να συμπληρώσω στην ωραία κατασκευή του ότι το ημικύκλιο τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία

Έτσι προκύπτουν δύο κύκλοι που διέρχονται από τα κι εφάπτονται της δεδομένης ευθείας στα (Πρώτο Απολλώνιο πρόβλημα ΣΣΕ)

[Doloros]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Τώρα για το θέμα.

Αφού τα σημεία και η ευθεία είναι δεδομένα κι από τρία διακεκριμένα σημεία διέρχεται ένας κύκλος , εγώ ο αφελής γράφω αυτόν το κύκλο και βρίσκω που κόβει την ευθεία

[george visvikis]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Τώρα για το θέμα.

Αφού τα σημεία και η ευθεία είναι δεδομένα κι από τρία διακεκριμένα σημεία διέρχεται ένας κύκλος , εγώ ο αφελής γράφω αυτόν το κύκλο και βρίσκω που κόβει την ευθεία

Συμφωνώ με τον Νίκο Τι μας εμποδίζει να γράψουμε τον περίκυκλο του και να βρούμε τα δύο σημεία που τέμνει τη

Ομοκυκλικά.J.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές

[JimNt.]

Το γνωρίζω και ζητώ συγνώμη.

[min##]

Καλά,συμφωνώ ότι δεν είναι απόλυτα ξεκαθαρισμένο,αλλά εγώ το εξέλαβα ως "να βρεθεί ο λόγος (δηλαδή να βρεθεί η θέση του στην ),το οποίο έπεται από τις κατασκευές που έχουν δοθεί.