Ομοκυκλικά
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Ομοκυκλικά
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ομοκυκλικά
Έστω τα ύψη από τις κορυφές .
Έστω πως η τέμνει την στο .
Έστω ότι η τέμνει τον κύκλο στο .
Θα αποδείξουμε πως το ορίζεται ως η τομή των και .
Πράγματι:
Θεωρούμε αντιστροφή με πόλο το και δύναμη .
Αρκεί να αποδειχθεί πως τα είναι αντίστροφα σε αυτή την αντιστροφή.
Τα είναι αντίστροφα, όπως και τα . Ακόμη εύκολα προκύπτει πως τα είναι αντίστροφα.
Η ευθεία πάει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , οπότε το πάει στο .
Το ανήκει στον , αφού, .
Ο τελευταίος κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε το πηγαίνει στο .
Συνοψίζοντας, ο κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε η τομή αυτής της ευθείας με το αντίστροφο της , δηλαδή με τον , είναι το αντίστροφο του .
Συνεπώς το είναι το αντίστροφο του .
Έστω πως η τέμνει την στο .
Έστω ότι η τέμνει τον κύκλο στο .
Θα αποδείξουμε πως το ορίζεται ως η τομή των και .
Πράγματι:
Θεωρούμε αντιστροφή με πόλο το και δύναμη .
Αρκεί να αποδειχθεί πως τα είναι αντίστροφα σε αυτή την αντιστροφή.
Τα είναι αντίστροφα, όπως και τα . Ακόμη εύκολα προκύπτει πως τα είναι αντίστροφα.
Η ευθεία πάει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , οπότε το πάει στο .
Το ανήκει στον , αφού, .
Ο τελευταίος κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε το πηγαίνει στο .
Συνοψίζοντας, ο κύκλος πηγαίνει στην ευθεία , οπότε η τομή αυτής της ευθείας με το αντίστροφο της , δηλαδή με τον , είναι το αντίστροφο του .
Συνεπώς το είναι το αντίστροφο του .
Houston, we have a problem!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά
Καλησπέρα.
Χρησιμοποιώ ίδια κατασκευή με αυτή του Διονύση, ωστόσο με διαφορετική απόδειξη.
Έστω λοιπόν και . Έστω ότι ο κύκλος με διάμετρο τέμνει την σε σημείο έστω . Τότε, το σημείο , είναι το ζητούμενο.
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο (μιας και ) και το εγγεγραμμένο , προκύπτει εγγράψιμο, οπότε (1).
Ακόμη, αφού , το είναι εγγράψιμο, συνεπώς (2).
Επίσης, εγγράψιμο, οπότε (3).
Από (1), (2), (3), εγγράψιμο, άρα (αφού , το είναι εγγράψιμο).
Τελικά, εγγράψιμο, και τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Ομοκυκλικά
Καλησπέρα σε όλους !
Το σημείο αυτό, ανεξάρτητα από το αν η ευθεία είναι διάμεσος, είναι το σημείο επαφής με την κύκλου που περνά απο τα και εφάπτεται σε αυτή. Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία εκτός των δύο αυτών σημείων.
Έχω μια απλή στο μυαλό μου θα περιμένω και για άλλες απαντήσεις.
Το σημείο αυτό, ανεξάρτητα από το αν η ευθεία είναι διάμεσος, είναι το σημείο επαφής με την κύκλου που περνά απο τα και εφάπτεται σε αυτή. Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία εκτός των δύο αυτών σημείων.
Έχω μια απλή στο μυαλό μου θα περιμένω και για άλλες απαντήσεις.
Re: Ομοκυκλικά
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 18, 2018 12:06 amΚαλησπέρα σε όλους !
Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία
εκτός των δύο αυτών σημείων .
Re: Ομοκυκλικά
Να συμπληρώσω στην ωραία κατασκευή του ότι το ημικύκλιο τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία
Έτσι προκύπτουν δύο κύκλοι που διέρχονται από τα κι εφάπτονται της δεδομένης ευθείας στα (Πρώτο Απολλώνιο πρόβλημα ΣΣΕ)
Re: Ομοκυκλικά
Τώρα για το θέμα.
Αφού τα σημεία και η ευθεία είναι δεδομένα κι από τρία διακεκριμένα σημεία διέρχεται ένας κύκλος , εγώ ο αφελής γράφω αυτόν το κύκλο και βρίσκω που κόβει την ευθεία
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ομοκυκλικά
Συμφωνώ με τον Νίκο Τι μας εμποδίζει να γράψουμε τον περίκυκλο του και να βρούμε τα δύο σημεία που τέμνει τη
Re: Ομοκυκλικά
Καλά,συμφωνώ ότι δεν είναι απόλυτα ξεκαθαρισμένο,αλλά εγώ το εξέλαβα ως "να βρεθεί ο λόγος (δηλαδή να βρεθεί η θέση του στην ),το οποίο έπεται από τις κατασκευές που έχουν δοθεί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες