Ομοκυκλικά

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Ομοκυκλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Δεκ 16, 2018 11:48 pm

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ορθόκεντρο H. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο D και N είναι η προβολή του H στην διάμεσο AM, να προσδιοριστεί σημείο E πάνω στην BC ώστε A,N,E,D ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ομοκυκλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Δεκ 17, 2018 5:15 pm

Έστω X, Y, Z τα ύψη από τις κορυφές A, B, C.

Έστω πως η AX τέμνει την YZ στο K.

Έστω ότι η KM τέμνει τον κύκλο (AYZ) στο J.

Θα αποδείξουμε πως το E ορίζεται ως η τομή των AJ και BC.

Πράγματι:

Θεωρούμε αντιστροφή με πόλο το A και δύναμη AZ\cdot AB.

Αρκεί να αποδειχθεί πως τα J, E είναι αντίστροφα σε αυτή την αντιστροφή.

Τα B, Z είναι αντίστροφα, όπως και τα C, Y. Ακόμη εύκολα προκύπτει πως τα H, X είναι αντίστροφα.

Η ευθεία ZY πάει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC, οπότε το D πάει στο K.

Το N ανήκει στον (AYHZ), αφού, \widehat{HNA}=\widehat{HZA}=90^o.

Ο τελευταίος κύκλος πηγαίνει στην ευθεία BC, οπότε το N πηγαίνει στο M.

Συνοψίζοντας, ο κύκλος (AND) πηγαίνει στην ευθεία KM, οπότε η τομή αυτής της ευθείας με το αντίστροφο της BC, δηλαδή με τον (AYZ), είναι το αντίστροφο του E.

Συνεπώς το J είναι το αντίστροφο του E.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ομοκυκλικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Δεκ 17, 2018 11:26 pm

JimNt. έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:48 pm
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ορθόκεντρο H. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο D και N είναι η προβολή του H στην διάμεσο AM, να προσδιοριστεί σημείο E πάνω στην BC ώστε A,N,E,D ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
Καλησπέρα.

Χρησιμοποιώ ίδια κατασκευή με αυτή του Διονύση, ωστόσο με διαφορετική απόδειξη.

Έστω λοιπόν P \equiv CH \cap AB, Q \equiv BH \cap AC και T \equiv AH \cap PQ. Έστω ότι ο κύκλος με διάμετρο AH τέμνει την TM σε σημείο έστω R. Τότε, το σημείο E \equiv AR \cap BC, είναι το ζητούμενο.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BPQC (μιας και \angle BPC=\angle BQC=90^\circ ) και το εγγεγραμμένο ABDC, προκύπτει \angle TQA=\angle ABC=\angle TDC \Rightarrow TQCD εγγράψιμο, οπότε AT \cdot AD=AQ \cdot AC (1).

Ακόμη, αφού \angle HQA=\angle HKC=90^\circ, το HKCQ είναι εγγράψιμο, συνεπώς AH \cdot AK=AQ \cdot AC (2).

Επίσης, \angle HKM=\angle HNM \Rightarrow HKMN εγγράψιμο, οπότε AH \cdot AK=AN \cdot AM (3).

Από (1), (2), (3), AN \cdot AM=AT \cdot AD \Rightarrow TDMN εγγράψιμο, άρα \angle TDN=\angle TMN = \angle REN (αφού AR \cdot AE=AH \cdot AK=AN \cdot AM, το REMN είναι εγγράψιμο).

Τελικά, \angle ADN=\angle AEN \Rightarrow ADEN εγγράψιμο, και τελειώσαμε.
KYKLIKA.png
KYKLIKA.png (38.69 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ομοκυκλικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Δεκ 18, 2018 12:06 am

Καλησπέρα σε όλους !

Το σημείο αυτό, ανεξάρτητα από το αν η ευθεία είναι διάμεσος, είναι το σημείο επαφής με την BC κύκλου που περνά απο τα H,N και εφάπτεται σε αυτή. Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία εκτός των δύο αυτών σημείων.

Έχω μια απλή στο μυαλό μου θα περιμένω και για άλλες απαντήσεις.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ομοκυκλικά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 18, 2018 7:48 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Τρί Δεκ 18, 2018 12:06 am
Καλησπέρα σε όλους !

Η κατασκευή έχει ένα ενδιαφέρον. Του κύκλου δηλαδή που περνά από δύο σημεία και εφάπτεται σε δοσμένη ευθεία

εκτός των δύο αυτών σημείων .
Επαφή.png
Επαφή.png (21.71 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 18, 2018 11:15 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 18, 2018 7:48 am
Πρόβλημα ΣΣΕ κατά KARKAR.png
Πρόβλημα ΣΣΕ κατά KARKAR.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές
Να συμπληρώσω στην ωραία κατασκευή του K.KARKAR ότι το ημικύκλιο (S,SP) τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T'

Έτσι προκύπτουν δύο κύκλοι που διέρχονται από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B κι εφάπτονται της δεδομένης ευθείας στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T' (Πρώτο Απολλώνιο πρόβλημα ΣΣΕ)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 20, 2018 12:34 am

JimNt. έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:48 pm
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ορθόκεντρο H. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο D και N είναι η προβολή του H στην διάμεσο AM, να προσδιοριστεί σημείο E πάνω στην BC ώστε A,N,E,D ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
Τώρα για το θέμα.

Αφού τα σημεία A,N,D και η ευθεία BC είναι δεδομένα κι από τρία διακεκριμένα σημεία διέρχεται ένας κύκλος , εγώ ο αφελής γράφω αυτόν το κύκλο και βρίσκω που κόβει την ευθεία BC


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 20, 2018 9:54 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Δεκ 20, 2018 12:34 am
JimNt. έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:48 pm
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ορθόκεντρο H. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο D και N είναι η προβολή του H στην διάμεσο AM, να προσδιοριστεί σημείο E πάνω στην BC ώστε A,N,E,D ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
Τώρα για το θέμα.

Αφού τα σημεία A,N,D και η ευθεία BC είναι δεδομένα κι από τρία διακεκριμένα σημεία διέρχεται ένας κύκλος , εγώ ο αφελής γράφω αυτόν το κύκλο και βρίσκω που κόβει την ευθεία BC
Συμφωνώ με τον Νίκο :coolspeak: Τι μας εμποδίζει να γράψουμε τον περίκυκλο του AND και να βρούμε τα δύο σημεία που τέμνει τη BC;
Ομοκυκλικά.J.png
Ομοκυκλικά.J.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ομοκυκλικά

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Δεκ 20, 2018 2:55 pm

Το γνωρίζω και ζητώ συγνώμη.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ομοκυκλικά

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Δεκ 20, 2018 2:57 pm

Καλά,συμφωνώ ότι δεν είναι απόλυτα ξεκαθαρισμένο,αλλά εγώ το εξέλαβα ως "να βρεθεί ο λόγος BE/EC (δηλαδή να βρεθεί η θέση του E στην BC),το οποίο έπεται από τις κατασκευές που έχουν δοθεί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες