Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το πρόβλημα εδώ.

Τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

και κέντρου

. Να αποδείξετε, ότι ο λόγος του εμβαδού του ποδικού τριγώνου σημείου

προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC

ισούται με

$\displaystyle \dfrac{1}{4}\left |1-\dfrac{d^2}{R^2} \right |$

, όπου d=PO

(ποδικό τρίγωνο σημείου

, ορίζεται ως το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα ίχνη των καθέτων που άγονται από το

προς τις πλευρές του τριγώνου).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 7:54 pm
Με αφορμή το πρόβλημα εδώ.

Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας και κέντρου . Να αποδείξετε, ότι ο λόγος του εμβαδού του ποδικού τριγώνου σημείου προς το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με

$\displaystyle \dfrac{1}{4}\left |1-\dfrac{d^2}{R^2} \right |$

, όπου (ποδικό τρίγωνο σημείου , ορίζεται ως το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα ίχνη των καθέτων που άγονται από το προς τις πλευρές του τριγώνου).

Αλέξανδρε, είναι γνωστή πρόταση και οφείλεται στον ΤΕΡΑΣΤΙΟ Euler. Έχει ξανασυζητηθεί στο

παλαιότερα. Δεν θα δώσω παραπομπές για να το δοκιμάσουν και άλλοι φίλοι που δεν το έχουν ξαναδεί

Al.Koutsouridis · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 10:31 pm

Αλέξανδρε, είναι γνωστή πρόταση και οφείλεται στον ΤΕΡΑΣΤΙΟ Euler. Έχει ξανασυζητηθεί στο παλαιότερα. Δεν θα δώσω παραπομπές για να το δοκιμάσουν και άλλοι φίλοι που δεν το έχουν ξαναδεί

Καλησπέρα κ.Στάθη! Ναι γνωστή σχέση, αν και δεν γνώριζα ότι αποδίδεται στον Euler. Μια μικρή επιπόλαια αναζήτηση που έκανα πριν την δημιουργία του θέματος πρόσεξα μεν ότι αναφέρεται η σχέση, αλλά δεν είδα απόδειξη, για αυτό και το επανέφερα.

min## · #4

: euler2.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

(Λίγο βιαστικά-θα επιστρέψω)Είναι στο σχήμα $(1) B_{1}C_{1}=sin(A)\cdot AP=AP\cdot BC/2R$
και τα κυκλικά του (νόμος Ημιτόνων στα $AB_{1}C_{1},ABC$ αντίστοιχα και εξαιτίας της διαμέτρου

του $(AB_{1}C_{1})$ ).
Από τον τύπο $E_{ABC}=abc/4R$ και $E_{A_{1}B_{1}C_{1}}=B_{1}C_{1}\cdot C_{1}A_{1}\cdot A_{1}B_{1}/4r$ και την (1)
η προς απόδειξη γίνεται $AP\cdot BP\cdot CP=2r(R^2-d^2)$
(με

την ακτίνα του περίκυκλου του ποδικού)
.Επίσης στο σχήμα,είναι $PCE\angle =C_{1}A_{1}B_{1}\angle$ (κυνήγι γωνιών).Από νόμο Ημιτόνων στο PCE

η προς απόδειξη γίνεται $2r(R^2-d^2)=AP\cdot BP\cdot PE\cdot sin(A)/sin(C_{1}A_{1}B_{1})$
ή από δύναμη σημείου $2r\cdot sin(C_{1}A_{1}B_{1})=APsin(A)$
.Από νόμο Ημιτόνων στο $A_{1}B_{1}C_{1}$ , $2r=B_{1}C_{1}/sin(B_{1}A_{1}C_{1})$ και το ζητούμενο έπεται από την (1)...

Edit:Προστέθηκαν λεπτομέρειες

Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Re: Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Re: Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Re: Εμβαδόν ποδικού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση