Τομή κύκλων επί ευθείας

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1000
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τομή κύκλων επί ευθείας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:10 pm

Καλό μήνα σε όλους ! Μια νέα κατασκευή :
Τομή κύκλων 1-11-18.PNG
Τομή κύκλων 1-11-18.PNG (14.46 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ABCD , E \in AB για το οποίο ισχύει \widehat{CDE}=45^{0} και τυχαίο Z \in AD .

Οι BZ,DE τέμνονται στο P και M,N είναι οι ορθές προβολές του P στις BC,CD αντίστοιχα.Στην ημιευθεία PM παίρνουμε PO=DZ

Να εξεταστεί αν οι κύκλοι των  (B,E,P) και (M,O,N) έχουν κοινό σημείο πάνω στην PN

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3925
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τομή κύκλων επί ευθείας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:17 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:10 pm
Καλό μήνα σε όλους ! Μια νέα κατασκευή :
Τομή κύκλων 1-11-18.PNG
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ABCD , E \in AB για το οποίο ισχύει \widehat{CDE}=45^{0} και τυχαίο Z \in AD .

Οι BZ,DE τέμνονται στο P και M,N είναι οι ορθές προβολές του P στις BC,CD αντίστοιχα.Στην ημιευθεία PM παίρνουμε PO=DZ

Να εξεταστεί αν οι κύκλοι των  (B,E,P) και (M,O,N) έχουν κοινό σημείο πάνω στην PN

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Όμορφη! πρόταση Γιώργο. Βρήκα και μια στοιχειώδη λύση αλλά θα την αφήσω να την δοκιμάσουν και άλλοι φίλοι και συνάδελφοι και θα επανέλθω (αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1422
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τομή κύκλων επί ευθείας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Νοέμ 01, 2018 11:35 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:10 pm
Καλό μήνα σε όλους ! Μια νέα κατασκευή :
Τομή κύκλων 1-11-18.PNG
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ABCD , E \in AB για το οποίο ισχύει \widehat{CDE}=45^{0} και τυχαίο Z \in AD .

Οι BZ,DE τέμνονται στο P και M,N είναι οι ορθές προβολές του P στις BC,CD αντίστοιχα.Στην ημιευθεία PM παίρνουμε PO=DZ

Να εξεταστεί αν οι κύκλοι των  (B,E,P) και (M,O,N) έχουν κοινό σημείο πάνω στην PN

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα σε όλους.

Έστω πως ο κύκλος (B,E,P) τέμνει την PN στο σημείο G. Θα δείξουμε πως τα σημεία M,O,N,G είναι ομοκυκλικά.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle PDN, είναι \angle PDN=45^\circ \Rightarrow \angle DPN=45^\circ , και από το εγγράψιμο BEPG \Rightarrow \angle PGB=\angle AED=45^\circ=\angle DPN \Rightarrow \angle PGB=\angle DPN \Rightarrow EP \parallel BG.

Επομένως, το BEPG είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Για να δείξουμε ότι το MONG είναι εγγράψιμο, αρκεί PM \cdot PO=PG \cdot PN.

Όμως, PO=ZD, PG=BE, PN=\dfrac{PD}{\sqrt{2}} (από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle PDN).

Έτσι, η προς απόδειξη σχέση γράφεται PM \cdot ZD=\dfrac{BE \cdot PD}{\sqrt{2}}.

Φέρνουμε EK \perp BG, PL \perp BG. Τότε, από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle BEK \Rightarrow BE=EK \sqrt{2}=PL \sqrt{2}.

Άρα, αρκεί PM \cdot ZD=PL \cdot PD \Rightarrow \dfrac{PD}{DZ}=\dfrac{PM}{PL}.

Αρκεί λοιπόν τα τρίγωνα \vartriangle PML, \vartriangle PZD να είναι όμοια.

Το τετράπλευρο PLMB είναι προφανώς εγγράψιμο, άρα \angle PLM=180^\circ-\angle PBM=180^\circ-\angle AZB=\angle DZP.

Επίσης, \angle PML=\angle PBL=\angle EPB=\angle ZPD.

Επομένως, \angle ZPD=\angle PML, \, \angle PLM=\angle DZP, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, και τελειώσαμε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1000
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τομή κύκλων επί ευθείας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 14, 2018 12:21 am

Καλημέρα σε όλους.

Ευχαριστώ τον Στάθη για την ευαρέσκειά του προς το θέμα και βεβαίως τον μοναδικό Ορέστη για την ωραία αντιμετώπιση !

Λίγα λόγια για την δημιουργία του : Αφετηρία ήταν η σχέση PM \cdot DZ=PN \cdot BE . Απόδειξη αυτής στο τέλος του θέματος ΕΔΩ

Στις ημιευθείες PM,PN πήρα PO=DZ και PG=BE οπότε το MONG είναι εγγράψιμο.

Στη συνέχεια αναζήτησα συνθήκη ώστε BG \parallel PE για να είναι και το BEPG εγγράψιμο.

Προτίμησα την \widehat{CDE}=45^{0} που δίνει τα B,G να ισαπέχουν από την PE .. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης