Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 17, 2018 10:48 pm

Καλό βράδυ.Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν.
17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG
17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG (14.11 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και M το μέσον της BC . Ας είναι E \in AB και Z \in AC ώστε EZ \parallel   BC .

Οι EM,BZ τέμνονται στο P . Φέρουμε PN\perp AC..N \in AC και τον κύκλο των M,E,N που τέμνει την AC και στο I .

Αν στο τρίγωνο MEN ισχύει η μετρική σχέση : MN^{2}=ME^{2}+MN\cdot EN τότε

Να εξεταστεί η ομοιότητα των τριγώνων ZEN , MIC.
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10735
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 20, 2018 9:10 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Οκτ 17, 2018 10:48 pm
Καλό βράδυ.Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν.
17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και M το μέσον της BC . Ας είναι E \in AB και Z \in AC ώστε EZ \parallel   BC .

Οι EM,BZ τέμνονται στο P . Φέρουμε PN\perp AC..N \in AC και τον κύκλο των M,E,N που τέμνει την AC και στο I .

Αν στο τρίγωνο MEN ισχύει η μετρική σχέση : MN^{2}=ME^{2}+MN\cdot EN τότε

Να εξεταστεί η ομοιότητα των τριγώνων ZEN , MIC.
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο!

Έχει αποδειχθεί εδώ η ισοδυναμία \boxed{{a^2} = ab + {c^2} \Leftrightarrow \widehat A = 90^\circ  + \frac{{\widehat C}}{2}}
Μετρική δίνει ομοιότητα.png
Μετρική δίνει ομοιότητα.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές
Τα τρίγωνα ZEN , MIC έχουν από παραλληλία N\widehat ZE=\widehat C. Για να είναι όμοια θα πρέπει M\widehat IC=E\widehat NZ. Αλλά, από

το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ENIM και τη σχέση της παραπομπής, είναι \displaystyle M\widehat IC = M\widehat EN = 90^\circ  + \frac{{E\widehat NM}}{2}

Επειδή όμως \displaystyle E\widehat NZ = 90^\circ  + \theta, αρκεί να δειχτεί ότι η NP είναι διχοτόμος της E\widehat NM.


Συνεχίζεται. Θα επανέλθω για την απόδειξη της διχοτόμου...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10735
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 20, 2018 4:57 pm

...Συνέχεια. Θα αποδείξω την παρακάτω πρόταση:

E, Z είναι σημεία των πλευρών AB, AC αντίστοιχα, τριγώνου ABC ώστε EZ||BC και έστω M το μέσο της BC.

Η BZ τέμνει την EM στο P. Αν PN\bot AC, τότε η NP είναι διχοτόμος της E\widehat NM.

Μετρική δίνει ομοιότητα.β.png
Μετρική δίνει ομοιότητα.β.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές
α) Αν EM||AC (Σχ.1), τότε τα E, Z είναι μέσα των AB, AC και το EZMB είναι παραλληλόγραμμο, οπότε P

είναι μέσο του EM. Αλλά, λόγω παραλληλίας NP\bot EM, άρα η NP είναι διχοτόμος της E\widehat NM.

β) Αν οι EM, CA τέμνονται στο T (Σχ.2), τότε \displaystyle \frac{{EP}}{{PM}} = \frac{{EZ}}{{BM}} = \frac{{EZ}}{{MC}} = \frac{{TE}}{{TM}}, άρα τα P, T είναι

συζυγή αρμονικά των E, M κι επειδή PN\bot TC, η NP είναι διχοτόμος της E\widehat NM.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Οκτ 25, 2018 12:56 am

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την πλήρη (απο)κάλυψη .. :clap2: .. του παρόντος θέματος !!
Τα δύο θέματα- βάση για τη δημιουργία του - είναι βεβαίως αυτό που παραπέμπει ο Γιώργος
κι' ένα παλαιότερο από τον Μπάμπη, ΕΔΩ..Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης