Ακέραιο εμβαδόν

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ακέραιο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Σεπ 18, 2018 12:54 am

Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG (9.01 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC= 4 cm και το σημείο E της πλευράς AB ώστε \widehat{ACE}=40^{0}.

Το I ανήκει στην ημιευθεία CE ώστε BI \perp CE. Αν ισχύουν CE=AB και AB^{2}+AB\cdot BE =16  cm^{2} τότε :

Να εξεταστεί αν το \left ( BIC \right ) είναι (σε cm^{2}) ακέραιος αριθμός .

Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !
Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 18, 2018 11:05 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 18, 2018 12:54 am
Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC= 4 cm και το σημείο E της πλευράς AB ώστε \widehat{ACE}=40^{0}.

Το I ανήκει στην ημιευθεία CE ώστε BI \perp CE. Αν ισχύουν CE=AB και AB^{2}+AB\cdot BE =16  cm^{2} τότε :

Να εξεταστεί αν το \left ( BIC \right ) είναι (σε cm^{2}) ακέραιος αριθμός .

Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.
Καλημέρα!

Έστω CZ ύψος του τριγώνου ACE και IH το ύψος του τριγώνου IBC.
Ακέραιο Εμβαδόν...png
Ακέραιο Εμβαδόν...png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές
\displaystyle AB(AB + BE) = 16 \Leftrightarrow CE(CE + BE) = 16 \Leftrightarrow \boxed{C{E^2} + CE \cdot BE = 16} (1)

Θεώρημα αμβλείας στο BEC: 16 = B{E^2} + C{E^2} + 2BE \cdot EZ\mathop  = \limits^{(1)} C{E^2} + CE \cdot BE \Leftrightarrow

2EZ = CE - BE = AB - BE \Leftrightarrow 2EZ = AE. Άρα το Z είναι μέσο του AE,

οπότε AC=CE=AB και προφανώς E\widehat CB=15^\circ. Τότε όμως από γνωστή άσκηση

του σχολικού βιβλίου Α' Λυκείου, είναι \displaystyle IH = \frac{{BC}}{4} και εύκολα τώρα \boxed{(BIC)=2 cm^2}
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !
Πράγματι, Γιώργο, θα χωρούσε και σε φάκελο Θαλή-Ευκλείδη ή ακόμα και σε φάκελο Β' Λυκείου.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ακέραιο εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Σεπ 18, 2018 11:49 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 18, 2018 12:54 am
Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC= 4 cm και το σημείο E της πλευράς AB ώστε \widehat{ACE}=40^{0}.

Το I ανήκει στην ημιευθεία CE ώστε BI \perp CE. Αν ισχύουν CE=AB και AB^{2}+AB\cdot BE =16  cm^{2} τότε :

Να εξεταστεί αν το \left ( BIC \right ) είναι (σε cm^{2}) ακέραιος αριθμός .

Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !
Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.

Στην προέκταση της \displaystyle BA έστω σημείο \displaystyle Z με \displaystyle AZ = BE

\displaystyle A{B^2} + AB \cdot BE = 16 \Leftrightarrow AB\left( {AB + BE} \right) = 16 \Leftrightarrow AB \cdot BZ = B{C^2}

Άρα, \displaystyle BC εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle AZC οπότε \displaystyle \angle Z = \angle ACB

Αλλά \displaystyle ZE = AB = EC \Rightarrow \angle Z = \angle ZCE.Έτσι, \displaystyle \angle ACB = \angle ZCE \Rightarrow x = y

Ακόμη, \displaystyle 2\left( {EBC} \right) = 2\left( {ZAC} \right) άρα \displaystyle ZC \cdot AC \cdot \sin x = EC \cdot BC \cdot \sin y \Leftrightarrow \frac{{ZC}}{{EC}} = \frac{{BC}}{{AC}}

κι επειδή \displaystyle \angle ECZ = \angle ACB θα είναι \displaystyle \vartriangle ZEC \cong \vartriangle ABC \Rightarrow \angle EAC = \angle AEC = {70^0} και \displaystyle \vartriangle ABC ισοσκελές ,άρα \displaystyle \boxed{\angle y = {{15}^0}}

Αν τώρα \displaystyle M μέσον της \displaystyle BC θα είναι \displaystyle \boxed{\left( {BIC} \right) = 2\left( {IMB} \right) = 2 \cdot 2 \cdot \sin {{30}^0} = 2c{m^2}}
ακέραιο εμβαδόν.png
ακέραιο εμβαδόν.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ακέραιο εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Σεπ 22, 2018 1:37 pm

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις κομψές λύσεις !
Τα παλαιά θέματα που ανέφερα και πριν είναι ΑΥΤΟ και ΑΥΤΟ

Συμβαίνει συχνά η διαδρομή προς τη λύση νέου θέματος που βασίζεται σε άλλα δύο
να είναι (πολύ) συντομότερη από το άθροισμα των διαδρομών για τη λύση των δύο παλαιών...
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακέραιο εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 24, 2018 10:34 am

Προς το μέρος του A πάνω στην προέκταση του BA θεωρώ σημείο D, ώστε BE = AD. Τότε η σχέση που δίδεται γράφεται :

BA \cdot BD = 16 = B{C^2} που μας εξασφαλίζει ότι η BC εφάπτεται του κύκλου (A,D,C).

Αν τώρα M το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου BC με τη BD θα έχω :

1. CM \bot BD και

2. \widehat D = 40^\circ  + \widehat \phi , αφού ED = EC = AB

3. \widehat D = 40^\circ  + \widehat \omega , υπό χορδής κι εφαπτομένης
Ακέραιο εμβαδόν_new.png
Ακέραιο εμβαδόν_new.png (34.17 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές
Δηλαδή \boxed{\widehat \omega  = \widehat \phi } . Αναγκαστικά θα είναι \vartriangle EBC = \vartriangle ADC γιατί έχουν: ίσες βάσεις AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB, ίσους περιγεγραμμένους κύκλους και κοινό ύψος CM.

Μετά απ’ αυτά αβίαστα προκύπτουν ισοσκελή και τα \vartriangle CAE \to (40^\circ ,70^\circ ,70^\circ ),\,\,\,\,\vartriangle \,ABC \to (70^\circ ,55^\circ ,55^\circ ).

Άρα \boxed{\widehat \omega  = 15^\circ }, οπότε \displaystyle \boxed{(IBC) = 2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης