Εγγράψιμο από μέσα

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA204=FB2194.png (33.52 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

Εστω τετράπλευρο ABCD, (AB>CD)

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

Σημείο

κινείται στο τόξο

που δεν περιέχει τη

.

Οι

τέμνουν την

στα σημεία P, T

αντίστοιχα.

Δείξτε ότι τα μέσα K, L, M, N

των

αντίστοιχα, είναι ομοκυκλικά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αρκεί $\widehat{KNL}=\widehat{KML}$ .

Παρατηρούμε πως KN//PD

και

, από τα μέσα, άρα $\widehat{KNL}=\widehat{DSC}$ .

Θα αποδείξουμε τα τρίγωνα MKL

και

είναι όμοια, οπότε θα είναι $\widehat{KML}=\widehat{DSC}=\widehat{KNL}$ .

Θα χρησιμοποιηθούν μιγαδικοί αριθμοί (

)

Θεωρούμε τον κύκλο (O)

μοναδιαίο και επομένως |a|=|b|=|c|=|d|=|s|=1

, οπότε $a=\dfrac{1}{\bar{a}}$ , $b=\dfrac{1}{\bar{b}}$ , $c=\dfrac{1}{\bar{c}}$ , $d=\dfrac{1}{\bar{d}}$ , $s=\dfrac{1}{\bar{s}}$ .

Παρατηρούμε πως αφού τα A, S, B, D

ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο, η τομή των

και

είναι $p=\dfrac{sd(a+b)-ab(s+d)}{sd-ab}$ (λήμμα).

Όμοια είναι $t=\dfrac{sc(a+b)-ab(s+c)}{sc-ab}$ .

Ακόμη έχουμε:

$l=\dfrac{p+c}{2}=\dfrac{sd(a+b+c)-ab(s+d+c)}{2(sd-ab)}$ , $k=\dfrac{sc(a+b+d)-ab(s+d+c)}{2(sc-ab)}$ και $m=\dfrac{a+b}{2}$ .

Επειδή θέλουμε να δείξουμε ότι τα τρίγωνα STP

και

είναι όμοια με αντίθετο προσανατολισμό, θα πρέπει να ισχύει ότι:

$\dfrac{p-s}{t-s}=\overline{ \left( \dfrac{l-m}{k-m} \right) }$

Ισχύει ότι $\dfrac{p-s}{t-s}=\dfrac{\dfrac{d(sa+sb-ab-s^2)}{sd-ab}}{\dfrac{c(sa+sb-ab-s^2)}{sc-ab}}=\dfrac{d(sc-ab)}{c(sd-ab)}$

Και

$\displaystyle{\overline{\left( \dfrac{l-m}{k-m} \right)}=\overline{\left( \dfrac{\dfrac{sdc-ab(s+d+c-a-b)}{2(sd-ab)}}{\dfrac{sdc-ab(s+d+c-a-b)}{2(sc-ab)}} \right)}=\overline{\left( \dfrac{sc-ab}{sd-ab} \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{sc}-\dfrac{1}{ab}}{\dfrac{1}{sd}-\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{sdab(sc-ab)}{scab(sd-ab)}=\dfrac{d(sc-ab)}{c(sd-ab)}}$

Και το ζητούμενο έπεται.

#3

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 19, 2018 1:30 pm
GEOMETRIA204=FB2194.png
Εστω τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο

Σημείο κινείται στο τόξο που δεν περιέχει τη .

Οι τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα.

Δείξτε ότι τα μέσα των αντίστοιχα, είναι ομοκυκλικά.

Σάκη και Διονύση

Νομίζω ότι στο όμορφο αυτό πρόβλημα γεωμετρική απάντηση θα βρεθεί εδώ και στις παραπομπές

sakis1963 · #4

: Highway to Geometry 1 - Jean-Louis AYME.jpg (21.18 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Μεγάλη μου τιμή, ο μεγάλος γεωμέτρης Jean-Luis Ayme (Γαλλία),

να συμπεριλάβει στην τελευταία του συλλογή "Highway to Geometry 1", το παραπάνω πρόβλημά μου

Σύνδεσμος για την συλλογή : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... 3YskLPeI6M

και για την σελίδα του Jean-Luis : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Εγγράψιμο από μέσα

Εγγράψιμο από μέσα

Re: Εγγράψιμο από μέσα

Re: Εγγράψιμο από μέσα

Re: Εγγράψιμο από μέσα

Μέλη σε σύνδεση