Οι ευθείες του Euler

[Xriiiiistos]

Δίνεται τρίγωνο και το είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση

[min##]

Με τα περίκέντρα των
αρκεί οι να συντρέχουν που προκύπτει άμεσα από την ομοιοθεσία των ...

[george visvikis]

Δίνεται τρίγωνο και το είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση

Ευθείες Euler.png (38.76 KiB) Προβλήθηκε 1228 φορές

Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα έχουν τον ίδιο κύκλο του και ίσους περίκυκλους.

Έτσι αν είναι το μέσο της και τα περίκεντρα των τότε Άρα

το είναι παραλληλόγραμμο και το κέντρο του κύκλου του είναι το μέσο του που είναι η ευθεία

του του τριγώνου Ομοίως και οι ευθείες του των άλλων δύο τριγώνων διέρχονται από το


ΥΓ. Στο παραπάνω σχήμα το συμβολίζει το κέντρο του κύκλου του και δεν έχει καμία σχέση με το φορολογικό
έντυπο περί δηλώσεως ακινήτων

[min##]

Να πούμε επιπλέον ότι και οι (,με το περίκεντρο του και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του .

[min##]

Για να δούμε καμιά απόδειξη για το παραπάνω..

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Να πούμε επιπλέον ότι και οι (,με το περίκεντρο του και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του .

Οι ευθείες του Euler.png (36.99 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Ενδιαφέρον!

Πρακτικά αρκεί να αποδείξουμε πως η είναι ισογώνια της ως προς το τρίγωνο .

Επειδή οι και είναι ισογώνιες, αρκεί οι και να είναι ισογώνιες στο τρίγωνο .

Είναι γνωστό πως το είναι το μέσο του .

Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως η είναι η συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο .

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Φέρνουμε από το εφαπτόμενη στον και έστω πως τέμνει την στο .

Ισχύει από πολικές το εξής λήμμα:

Έστω τρίγωνο . Τότε οι , η συμμετροδιάμεσος της κορυφής και η εφαπτόμενη από το συνιστούν αρμονική δέσμη.

Οπότε αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη είναι αρμονική.

Όμως ισχύει ότι , οπότε αρκεί !

Παρατηρούμε πως τα τρίγωνα και είναι όμοια, αφού (από τις παράλληλες και ) και από την εφαπτομένη .

Οπότε .

Εκτελώντας όμως νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο συμπεραίνουμε πως .

Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως:

, όπου το μέσο της , που ισχύει!

[min##]

Πολύ καλό :clap2: .Μια άλλη λύση είναι η εξής:Θεωρώ την ευθεία του Euler του τριγώνου, και έστω τα ορθόκεντρο,κέντρο του κύκλου των 9 σημείων του Euler βαρύκεντρο και περίκεντρο αντίστοιχα.Έστω επίσης το σημείο και
το ισογώνιο του .Η είναι αρμονική(-βγαίνει εύκολα αφού ,), οπότε και .Αν πάρουμε την ισογώνια δέσμη της παραπάνω ως προς τη γωνία είναι φανερό ότι θα έχει ίδιο διπλό λόγο με την αρχική(οι γωνίες μεταξύ των ευθειών θα ναι ίδιες),άρα ,δηλαδή η είναι αρμονική και επειδή , και το ζητούμενο δείχτηκε.