Οι ευθείες του Euler

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Οι ευθείες του Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Αύγ 12, 2018 2:19 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC και το H είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων AHB,BHC,CHA συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Οι ευθείες του Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Αύγ 12, 2018 3:13 pm

Με O,O',O'' τα περίκέντρα των BCH,ACH,ABH
αρκεί οι AO,BO',CO'' να συντρέχουν που προκύπτει άμεσα από την ομοιοθεσία των ABC,OO'O''...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οι ευθείες του Euler

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 12, 2018 4:55 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:19 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC και το H είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων AHB,BHC,CHA συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση
Ευθείες Euler.png
Ευθείες Euler.png (38.76 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές
Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα ABC, AHB, BHC, AHC έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler και ίσους περίκυκλους.

Έτσι αν M είναι το μέσο της BC και O, O_1 τα περίκεντρα των ABC, BHC τότε OM=O_1M||=AN. Άρα

το ANO_1M είναι παραλληλόγραμμο και το κέντρο E_9 του κύκλου του Euler είναι το μέσο του AO_1 που είναι η ευθεία

του Euler του τριγώνου BHC. Ομοίως και οι ευθείες του Euler των άλλων δύο τριγώνων διέρχονται από το E_9.


ΥΓ. Στο παραπάνω σχήμα το E_9 συμβολίζει το κέντρο του κύκλου του Euler και δεν έχει καμία σχέση με το φορολογικό
έντυπο περί δηλώσεως ακινήτων
:lol:


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Οι ευθείες του Euler

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Αύγ 12, 2018 6:07 pm

:lol: :lol: Να πούμε επιπλέον ότι και οι AF_{1},BF_{2},CF_{3} (,με F_{1} το περίκεντρο του BOC και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του E_{9}.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Οι ευθείες του Euler

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Αύγ 27, 2018 4:12 pm

Για να δούμε καμιά απόδειξη για το παραπάνω..


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Οι ευθείες του Euler

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Αύγ 28, 2018 1:28 am

min## έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 6:07 pm
Να πούμε επιπλέον ότι και οι AF_{1},BF_{2},CF_{3} (,με F_{1} το περίκεντρο του BOC και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του E_{9}.
Οι ευθείες του Euler.png
Οι ευθείες του Euler.png (36.99 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Ενδιαφέρον!

Πρακτικά αρκεί να αποδείξουμε πως η AF_1 είναι ισογώνια της AE_9 ως προς το τρίγωνο ABC.

Επειδή οι AH και AO είναι ισογώνιες, αρκεί οι AF_1 και AE_9 να είναι ισογώνιες στο τρίγωνο AHO.

Είναι γνωστό πως το E_9 είναι το μέσο του OH.

Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως η AF_1 είναι η συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο AHO.

Έστω w ο περιγεγραμμένος κύκλος του AHO. Φέρνουμε από το A εφαπτόμενη στον w και έστω πως τέμνει την OF_1 στο K.

Ισχύει από πολικές το εξής λήμμα:

Έστω τρίγωνο ABC. Τότε οι AB, AC, η συμμετροδιάμεσος της κορυφής A και η εφαπτόμενη από το A συνιστούν αρμονική δέσμη.

Οπότε αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη A(H, O, F_1, K) είναι αρμονική.

Όμως ισχύει ότι AH//F_1K, οπότε αρκεί OF_1=OK!

Παρατηρούμε πως τα τρίγωνα AHO και OAK είναι όμοια, αφού \widehat{HAO}=\widehat{AOK} (από τις παράλληλες AH και OK) και \widehat{OHA}=\widehat{OAK} από την εφαπτομένη AK.

Οπότε AH\cdot OK=AO^2\Leftrightarrow 2OK=\dfrac{2AO^2}{AH}.

Εκτελώντας όμως νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο BOC συμπεραίνουμε πως 2OF_1=\dfrac{AO}{\sin{\widehat{OBC}}}.

Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως:

AO\cdot \sin{\widehat{OBC}}=\dfrac{AH}{2}\Leftrightarrow AO\cdot \sin{\widehat{OBC}}=OM, όπου M το μέσο της BC, που ισχύει!


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Οι ευθείες του Euler

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Αύγ 28, 2018 4:58 pm

Πολύ καλό :clap2: .Μια άλλη λύση είναι η εξής:Θεωρώ την ευθεία του Euler του τριγώνου, και έστω H,E9,G,O τα ορθόκεντρο,κέντρο του κύκλου των 9 σημείων του Euler βαρύκεντρο και περίκεντρο αντίστοιχα.Έστω επίσης L το σημείο Lemoine και E9'
το ισογώνιο του E9(E9,O,G,H) είναι αρμονική(-βγαίνει εύκολα αφού HO=2HE9,OG=2E9G), οπότε και A(E9,O,G,H)=-1.Αν πάρουμε την ισογώνια δέσμη της παραπάνω ως προς τη γωνία A είναι φανερό ότι θα έχει ίδιο διπλό λόγο με την αρχική(οι γωνίες μεταξύ των ευθειών θα ναι ίδιες),άρα A(E9,O,G,H)=-1=A(E9',H,L,O),δηλαδή η A(M,H,E,O) είναι αρμονική και επειδή AH//OE,OM=ME και το ζητούμενο δείχτηκε.
Συνημμένα
euler2.png
euler2.png (30.36 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης