Σελίδα 1 από 1

Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 17, 2018 2:19 pm
από george visvikis
Παραλλαγή σε ΙΜΟ.png
Παραλλαγή σε ΙΜΟ.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές
Έστω H, G, O το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα ενός οξυγώνιου

τριγώνου ABC. Αν HGO||BC και η BH τέμνει την AO στο K, να δείξετε ότι GH=GK.



Ζητείται λύση χωρίς τη χρήση της IMO Shortlist 2017 G3.

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
από min##
Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 17, 2018 11:44 pm
από vittasko
min## έγραψε:
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.
Απόδειξη ζωγραφιά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 20, 2018 10:29 am
από george visvikis
min## έγραψε:
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.
Κομψή μέσα στην απλότητά της :clap2: